Численное решение одного класса интегральных уравнений Вольтерра I рода с учетом особенностей машинной арифметики

Статья посвящена приближенному решению уравнений Вольтерра I рода, полученных в результате применения интегральных преобразований Лапласа для решения уравнения теплопроводности. Работа состоит из введения и двух разделов. Первый раздел посвящен специфике вычисления ядер Вольтерра из соответствующих интегральных уравнений при фиксированной длине мантиссы в машинном представлении вещественного числа с плавающей точкой. На языке PASCAL разработано программное обеспечение для вычисления ядер, реализующее функцию отслеживания достоверных разрядов мантиссы. На тестовых примерах проиллюстрированы типовые случаи систематического накопления ошибок. Во втором разделе приведены результаты расчетных алгоритмов, основанных на методе интегрирования произведения и квадратуре средних прямоугольников. С целью сравнения эффективности разностных методов приведены результаты тестовых расчетов.

Ключевые слова

интегральные уравнения Вольтерра первого рода; численное решение; метод интегрирования произведения.

Литература

1. Brunner, H. The Numerical Solution of Volterra Equations / H. Brunner, P.J. van der Houwen. - Amsterdam: North-Holland, 1986.
2. Brunner, H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations / H. Brunner. - N.Y.: Cambridge Univ. Press, 2004.
3. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - Киев: Наук. думка, 1986.
4. Апарцин, А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / А.С. Апарцин. - Новосибирск: Наука, 1999.
5. Солодуша, С.В. Применение численных методов для уравнений Вольтерра I рода, возникающих в обратной граничной задаче теплопроводности / С.В. Солодуша // Известия ИГУ. Серия: Математика. - 2015. - Т. 11. - С. 96-105.
6. Солодуша, С.В. Численное решение обратной граничной задачи теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода / С.В. Солодуша, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2015. - Т. 18, № 3. - С. 321-329.
7. Япарова, Н.М. Численное моделирование решений обратной граничной задачи теплопроводности / Н.М. Япарова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 3. - С. 112-124.
8. Jonas, P. Approximate Inverse for a One Dimensional Inverse Heat Conduction Problem / P. Jonas, A.K. Louis // Inverse Problems. - 2000. - V. 16, № 1. - P. 175-185.
9. Prud'homme, M. Fourier Analysis of Conjugate Gradient Method Applied to Inverse Heat Conduction Problems / M. Prud'homme, T.H. Hguyen // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1999. - V. 42. - P. 4447-4460.
10. Kolodziej, J. Application of the Method of Fundamental Solutions and Radial Basis Functions for Inverse Heat Source Problem in Case of Steady-State / J. Kolodziej, M. Mierzwiczak, M. Cialkowski // International Communications in Heat and Mass Transfer. - 2010. - V. 37, № 2. - P. 121-124.
11. Cialkowski, M. A Sequential and Global Method of Solving an Inverse Problem of Heat Conduction Equation / M. Cialkowski, K. Grysa // Jornal of Theoretical and Applied Mechanics. - 2010. - V. 48, № 1. - P. 111-134.
12. An Analytical Solution for Two-Dimensional Inverse Heat Conduction Problems Using Laplace Transform / M. Monde, H. Arima, Wei Liu, Yuhichi Mitutake, J.A. Hammad // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2003. - V. 46. - P. 2135-2148.
13. Beilina, L. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems / L. Beilina, M.V. Klibanov. - N.Y.: Springer, 2012.
14. Kabanikhin, S.I. Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications / S.I. Kabanikhin. - De Gruyter, 2011.
15. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978.
16. Мокрый, И.В. Основные механизмы возникновения вычислительной ошибки при компьютерных расчетах / И.В. Мокрый, О.В. Хамисов, А.С. Цапах // Материалы IV Всеросс. конф. 'Проблемы оптимизации и экономические приложения'. - Омск: Наследие, 2009. - С. 185.
17. Linz, P. Product Integration Method for Volterra Integral Equations of the First Kind / P. Linz // BIT Numerical Mathematics. - 1971. - V. 11. - P. 413-421.
18. Geng, F.Z. Analytical Approximation to Solutions of Singularly Perturbed Boundary Value Problems / F.Z. Geng, M.G. Cui // Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society. -2010. - V. 33, № 2. - P. 221-232.
19. Булатов, М.В. Исследование многошаговых методов для решения интегроалгебраических уравнений: построение областей устойчивости / М.В. Булатов, О.С. Будникова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 9. - С. 1448-1459.