О решении одной обратной задачи, моделирующей двумерное движение вязкой жидкости

Рассматривается обратная начально-краевая задача для линейного параболического уравнения, которая возникает при математическом моделировании двумерных ползущих движений вязкой жидкости в плоском канале. Неизвестная функция времени входит в правую часть уравнения аддитивно и находится из дополнительного условия интегрального переопределения. Поставленная задача имеет два разных интегральных тождества, которые позволяют получить априорные оценки решения в равномерной метрике и доказать теорему единственности. При некоторых ограничениях на входные данные решение построено в виде ряда по специальному базису. Для этого задача путем дифференцирования по пространственной переменной сводится к прямой неклассической задаче с двумя интегральными условиями вместо обычных краевых. Новая задача решается методом разделения переменных, позволяющим найти неизвестные функции в виде быстро сходящихся рядов. Другой, стандартный, метод решения исходной задачи состоит в сведении ее к нагруженному уравнению и первой начально-краевой задаче для него. В свою очередь, эта задача сведена к одномерному по времени операторному уравнению Вольтерры со специальным ядром. Доказано, что оно имеет решение в виде ряда. Установлены некоторые вспомогательные формулы, полезные при численном решении этого уравнения методом преобразования Лапласа. Установлены достаточные условия, при которых решение с ростом времени выходит на стационарный режим по экспоненциальному закону.

Ключевые слова

обратная задача; априорные оценки; преобразование Лапласа; экспоненциальная устойчивость.

Литература

1. Andreev, V.K. Unsteady 2D Motions a Viscous Fluid Described by Partially Invariant Solutions to the Navier - Stokes Equations / V.K. Andreev // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. - 2015. - V. 8, № 2. - P. 140-147.
2. Andreev, V.K. On an Inverse Problem for Two-Dimensional Navier - Stokes Equation / V.K. Andreev // Abstracts of the International Conference 'Differential Equations and Mathematical Modeling'. - Ulan-Ude, 2015. - P. 44-45.
3. Mathematical Models of Convection / V.K. Andreev, Yu.A. Gaponenko, O.N. Goncharova et al. - Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 2012. - 417 p. DOI: 10.1515/9783110258592
4. Prilepko, A.I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - N.-Y.: Marcel Dekker, 1999.
5. Cannot, J.R. Determination of a Parameter $p(t)$ in Some Quasi-Linear Parabolic Differential Equations / J.R. Cannot, Y. Lin // Inverse Problems. - 1988. - V. 4. - P. 35-45.
6. Васин, И.А. О некоторых обратных задачах динамики вязкой несжимаемой жидкости в случае интегрального переопределения / И.А. Васин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1992. - Т. 32, вып. 7. - С. 1071-1079.
7. Васин, И.А. Об асимптотическом поведении решений обратных задач для параболических уравнений / И.А. Васин, В.Л. Камынин // Сибирский математический журнал. - 1997. - Т. 38, № 4. - С. 750-766.
8. Кожанов, А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, № 12. - С. 2168-2184.
9. Пятков, С.Г. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений / С.Г. Пятков, Е.И. Сафонов // Сибирские электронные математические известия. - 2014. - Т. 11. - С. 777-799.
10. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. - М.: Наука, 1978. - 375 с.
11. Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. - М.: Высшая школа, 1977. - 431 с.
12. Ильин, В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений / В.А. Ильин // Успехи математических наук. - 1960. - Т. 15, вып. 2 (92). - С. 97-154.
13. Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: Наука, 1981. - 800 с.
14. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 736 с.
15. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа / Г. Деч. - М.: Наука, 1965. - 288 c.
16. Полянин, А.Д. Справочник по интегральным уравнениям / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров. - М.: Факториал Пресс, 2000. - 384 с.