Асимптотическая оценка метода Петрова - Галеркина для нелинейного дифференциально-операторного уравнения

В работе исследуется метод Петрова - Галеркина для задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения с монотонным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. Доказано существование и единственность сильного решения исследуемой задачи. Получены новые асимптотические оценки скорости сходимости построенных приближенных решений к точному решению в равномерной топологии. На операторы уравнения накладываются минимальные требования, необходимые для сходимости построенных приближенных решений. Отсутствуют какие-либо предположения о структуре операторов. Таким образом, метод исследуемый в данной работе, может быть применен к широкому классу параболических уравнений, а также, интегро-дифференциальных уравнений. В качестве приложения, исследуемый в работе метод, применяется к модельному параболическому уравнению четвертого порядка по пространственным переменным.

Ключевые слова

задача Коши; дифференциально-операторное уравнение; метод Петрова - Галеркина; оператор ортогонального проектирования; скорость сходимости.

Литература

1. Егоров, И.Е. О скорости сходимости стационарного метода Галеркина для уравнения смешанного типа / И.Е. Егоров, И.М. Тихонова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 40 (299), вып. 14. - С. 53-58.
2. Федотов, Е.М. Предельные схемы Галеркина - Петрова для нелинейного уравнения конвекции-диффузии / Е.М. Федотов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 7. - С. 1033-1043.
3. Петров, Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости / Г.И. Петров // Прикладная математика и механика. - 1940. - Т. 4. - С. 1-13.
4. Bialecki, B. A Petrov - Galerkin Method with Quadrature for Elliptic Boundary Value Problems / B. Bialecki, M. Ganesh, K. Mustapha // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2004. - V. 24. - P. 157-177.
5. Lin, H. Meshless Local Petrov - Galerkin (MLPG) Method for Convection-Diffusion Problems / H. Lin, S.N. Atluri // Computer Modeling in Engineering and Sciences. - 2000. - V. 1, № 2. - P. 45-60.
6. Demkowicz, L. An Adaptive Characteristic Petrov - Galerkin Finite Rlement Method for Convection-Dominated Linear and Nonlinear Parabolic Problems in One Space Variable / L. Demkowicz, J.T. Oden // Journal of Computational Physics. - 1986. - V. 67. - P. 188-213.
7. Demkowicz, L. An Adaptive Characteristic Petrov - Galerkin Finite Element Method for Convection-Dominated Linear and Nonlinear Parabolic Problems Two Space Variable / L. Demkowicz, J.T. Oden // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1986. - V. 55. - P. 63-87.
8. Даугавет, И.К. О методе моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений / И.К. Даугавет // Сибирский математический журнал. - 1965. - Т. 6, № 1. - С. 70-85.
9. Вайникко, Г.М. О быстроте сходимости метода моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений / Г.М. Вайникко // Сибирский математический журнал. - 1968. - Т. 9, № 1. - С. 21-28.
10. Джишкариани, А.В. Метод Галеркина - Петрова с итерациями / А.В. Джишкариани // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - V. 43, № 9. - С. 1313-1322.
11. Зарубин, А.Г. О методе моментов для одного класса нелинейных уравнений / А.Г. Зарубин // Сибирский математический журнал. - 1978. - Т. 19, № 3. - С. 575-586.
12. Зарубин, А.Г. О скорости сходимости проекционных методов в проблеме собственных значений / А.Г. Зарубин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1982. - Т. 22, № 6. - С. 1308-1315.
13. Зарубин, А.Г. О быстроте сходимости проекционных методов в проблеме собственных значений для уравнений специального вида / А.Г. Зарубин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1985. - Т. 25, № 7. - С. 963-972.
14. Виноградова, П.В. Оценка погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений / П.В. Виноградова, А.Г. Зарубин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2009. - Т. 49, № 9. - С. 1643-1651.
15. Vinogradova, P. Convergence Rate of Galerkin Method for a Certain Class of Nonlinear Operator-Differential Equation / P. Vinogradova // Numerical Functional Analysis and Optimization. - 2010. - V. 31, № 3. - P. 339-365.
16. Виноградова, П.В. Метод Галеркина для нестационарного уравнения с монотонным оператором / П.В. Виноградова // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 7. - С. 955-965.
17. Беккенбах, Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман. - М.: Мир, 1965.
18. Lions, J.L. Probl'emes aux Limites non Homog'enes et Applications. V. 1, 2 / J.L. Lions, E. Magenes. - Paris: Dunod, 1968.
19. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1964.