Модифицированный метод Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка и оценка его погрешности

C помощью модифицированного метода Галеркина доказывается однозначная регулярная разрешимость краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа. Теория таких уравнений исходит из прикладных задач, в частности, трансзвуковой газовой динамики.
Исследование проведено для случаев, когда вблизи нижнего основания цилиндрической области уравнение имеет эллиптический тип, а вблизи верхнего основания цилиндра - гиперболический или эллиптический тип. В последнем случае разрешимость этой краевой задачи ранее была изучена авторами с помощью другой методики, там впервые была сформулирована ее постановка. Кроме того, в настоящей работе получена оценка погрешности приближенных решений краевой задачи относительно точного решения через параметр регуляризации и собственные значения спектральной задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Ключевые слова

уравнение смешанного типа; краевая задача; приближенное решение; регуляризация; метод Галеркина; оценка погрешности.

Литература

1. Каратопраклиев, Г.Д. Об одном классе уравнений смешанного типа в многомерных областях / Г.Д. Каратопраклиев // Доклады АН СССР. - 1976. - Т. 230, № 4. - С. 769-772.
2. Врагов, В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа / В.Н. Врагов // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13, № 6. - С. 1098-1105.
3. Врагов, В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа / В.Н. Врагов // Математический анализ и смежные вопросы математики. - Новосибирск: Наука, 1978. - С. 5-13.
4. Терехов, А.Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа / А.Н. Терехов // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 1979. - С. 128-136.
5. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент: ФАН, 1979.
6. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. - М.: Изд-во МГУ, 1988.
7. Кузьмин, А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложение к газодинамике / А.Г. Кузьмин. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.
8. Егоров, И.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка / И.Е. Егоров, В.Е. Федоров. - Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.
9. Егоров, И.Е. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа высокого порядка /И.Е. Егоров, В.Е. Федоров // Математические заметки ЯГУ. - 1999. - Т. 6, вып. 1. - С. 26-35.
10. Чуешев, А.В. Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.В. Чуешев. - Новосибирск: НГУ, 2001.
11. Егоров, И.Е. О стационарном методе Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка / И.Е. Егоров, И.М. Тихонова // Математические заметки ЯГУ. - 2010. - Т. 17, вып. 2. - С. 41-47.
12. Егоров, И.Е. Применение стационарного метода Галеркина для уравнения смешанного типа / И.Е. Егоров, И.М. Тихонова // Математические заметки ЯГУ. - 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 20-28.
13. Егоров, И.Е. Применение модифицированного метода Галеркина к уравнению смешанного типа / И.Е. Егоров, И.М. Тихонова // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т. 21, № 3. - С. 14-19.
14. Тихонова, И.М. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго порядка / И.М. Тихонова, В.Е. Федоров // Математические заметки ЯГУ. - 2010. - Т. 17, вып. 2. - С. 109-117.