Об одной математической модели, описываемой краевой задачей для бигармонического уравнения

В данной работе рассматривается математическая модель, описываемая обобщенной третьей краевой задачи для однородного бигармонического уравнения в шаре с граничными операторами до третьего порядка, содержащие нормальные производные и лапласиан. Частными случаями рассматриваемой математической модели являются классические модели, описываемые задачами Дирихле, Рикье и Робина, спектральная задача Стеклова, а также многие другие математические модели, порожденные этими граничными условиями. Доказаны две теоремы существования рассматриваемой задачи. Условия существования получены в виде ортогональности на границе некоторой линейной комбинации граничных функций однородным гармоническим многочленам заданного порядка. Полученные результаты проиллюстрированы некоторыми частными случаями общей задачи.

Ключевые слова

математическая модель; бигармоническое уравнение; граничная задача; оператор Лапласа.

Литература

1. Andersson L-E., Elfving T., Golub G.H. Solution of Biharmonic Equations with Application to Radar Imaging. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1998, vol. 94, no. 2, pp. 153-180. DOI: 10.1016/S0377-0427(98)00079-X
2. Lai M.-C., Liu H.-C. Fast Direct Solver for the Biharmonic Equation on a Disk and Its Application to Incompressible Flows. Applied Mathematics and Computation, 2005, vol. 164, no. 3, pp. 679-695. DOI: 10.1016/j.amc.2004.04.064
3. Ehrlich L.N., Gupta M.M. Some Difference Schemes for the Biharmonic Equation. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1975, vol. 12, no. 5, pp. 773-790. DOI: 10.1137/0712058
4. Almansi E. Sull'integrazione dell'equazione differenziale $Delta^{2n} u =0$. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1899, vol. 2, no. 3, pp. 1-51. DOI: 10.1007/BF02419286
5. Boggio T. Sulle funzioni di green d'ordinem. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1905, pp. 97-135.
6. Love A.E.H. Biharmonic Analysis, Especially in a Rectangle, and Its Application to the Theory of Elasticity. Journal London Mathematical Society, 1928. vol. 3, pp. 144-156. DOI: 10.1112/jlms/s1-3.2.144
7. Zaremba S. Sur l'integration de l'equation biharmonique. Bulletin International de l'Academie des Sciences de Cracovie, 1908, pp. 1-29.
8. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - T. 54, № 7. - C. 1149-1170.
9. Karachik V.V. Normalized System of Functions with Respect to the Laplace Operator and Its Applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2003, vol. 287, no. 2, pp. 577-592. DOI: 10.1016/S0022-247X(03)00583-3
10. Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Bekaeva A. Solvability Conditions of the Neumann Boundary Value Problem for the Biharmonic Equation in the Unit Ball. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 2012. vol. 81, no. 3, pp. 487-495.
11. Карачик, В.В. Условия разрешимости задачи Неймана для однородного полигармонического уравнения / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50, № 11. - С. 1455-1461.
12. Карачик, В.В. Об условиях разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре / В.В. Карачик // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2013. - T. 16, № 4 (56). - C. 61-74.
13. Gazzola F., Sweers G. On Positivity for the Biharmonic Operator under Steklov Boundary Conditions. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2008, vol. 188, pp. 399-427. DOI: 10.1007/s00205-007-0090-4
14. Karachik V.V., Sadybekov M.A., Torebek B.T. Uniqueness of Solutions to Boundary-Value Problems for the Biharmonic Equation in a Ball. Electronic Journal of Differential Equations, 2015, vol. 2015, no. 244, pp. 1-9.
15. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1674-1694.
16. Карачик, В.В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Сибирский математический журнал. - 1991. - Т. 32, № 5. - C. 51-58.
17. Карачик, В.В. О свойстве среднего для полигармонических функций в шаре / В.В. Карачик // Математические труды. - 2013. - T. 16, № 2. - C. 69-88.
18. Karachik V.V., Torebek B.T. On Uniqueness and Correct Solvability of the Biharmonic Boundary Value Problem. AIP Conference Proceedings, 2016, vol. 1759, 020045, 4 p. DOI: 10.1063/1.4959659