Cтохастическая задача Коши в гильбертовом пространстве: модели, примеры, решения

Работа посвящена стохастической задаче Коши для нелинейного уравнения первого порядка со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве с мультипликативным шумом в некотором другом гильбертовом пространстве. В первую очередь в работе представлена модель временной структуры процентной ставки, которая является мерой текущего рынка облигаций. Случайность процесса, описывающего временные структуру цены облигации, обусловлена тем, что экономические показатели изменяются во времени и неизвестны заранее. Рассмотрены методы вычисления форвардной кривой, описывающей временную структуры цены облигации, и переход от них к решению задачи Коши указанного вида. Приведены условия на исходные отображения, необходимые для существования и единственности решения, и построены примеры отображений, удовлетворяющих этим условиям. Рассмотрены слабое и мягкое решения задачи Коши, приведены результаты существования и единственности мягкого решения, показана связь мягкого и слабого решений, из которой следует существование и единственность слабого решения задачи Коши.

Ключевые слова

стохастическая задача Коши; белый шум; винеровский процесс; слабое решение; мягкое решение; цена облигации; форвардная кривая.

Литература

1. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Cambridge Univ. Press, 1992. DOI: 10.1017/CBO9780511666223
2. Gawarecki L., Mandrekar V. Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensions. Berlin, Heidellberg, Springer-Verlag, 2011. DOI: 10.1007/978-3-642-16194-0
3. Melnikova I.V. Filinkov A.I., Anufrieva U.A. Abstract Stochastic Equations I. Classical and Distributional Solutions. Journal of Mathematical Sciences, 2002, vol. 111, no. 2, pp. 3430-3465. DOI: 10.1023/A:1016006127598
4. Melnikova I.V., Filinkov A.I. Abstract Stochastic Problems with Generators of Regularized Semigroups. Journal of Communications in Applied Analysis, 2009, vol. 13, no. 2, pp. 195-212.
5. Alshanskiy M.A., Melnikova I.V. Regularized and Generalized Solutions of Infinite-Dimensional Stochastic Problems. Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 11, pp. 1-28. DOI: 10.1070/SM2011v202n11ABEH004199
6. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation. Econometrica, 1992, vol. 60, no. 1, pp. 77-105. DOI: 10.2307/2951677
7. Musiela M. Stochastic PDEs and Term Structure Models. Journees Internationales de France, IGR-AFFI, La Baule, 1993.
8. Filipovic D. Consistency Problems for Heath - Jarrow - Morton Interest Rate Models. Berlin, Heidellberg, Springer, 2001.
9. Balakrishnan A.V. Applied Functional Analysis. Berlin, Heidellberg, Springer, 1976.