Критерии колебаний нелинейных динамических уравнений второго порядка с интегральной составляющей на временных масштабах

В статье рассматриваются колебательные свойства нелинейного динамического уравнения второго порядка с интегральной составляющей на произвольном промежутке времени. При помощи введения оператора сдвига исходное динамическое уравнение редуцируется к альтернативному уравнению. Для изучения колебаний мы представим некоторые важные леммы и будем использовать обобщенное преобразование Риккати, которое переводит динамическое уравнение второго порядка в динамическое уравнение первого порядке на произвольном промежутке времени. Полученные результаты также гарантируют, что решение исходного уравнения осциллирует. Кроме того, мы устанавливаем критерий колебаний Каменева для нашей системы. В итоге, мы рассмотрим динамическое уравнение второго порядка на временных масштабах с отклоняющимся аргументом и сравним его с результатом, который дает достаточные условия его колебания.

Ключевые слова

масштаб времени; динамические уравнения; преобразование Риккати; колебание.

Литература

1. Agarwal R.P. Difference Equations and Inequalities. N.Y., Marcel Dekker, 1992.
2. Agarwal R.P., Wong P.J.Y. Advanced Topics in Difference Equations. Dordrecht, Springer Netherlands, 1997. DOI: 10.1007/978-94-015-8899-7
3. Jurang Y. Oscillation Theorems for Second Order Linear Differential Equations with Damping. Proceeding of American Mathematical Society, 1986, vol. 98, no. 2, pp. 276-282.
4. Hilger S. Analysis on Measure Chains - A Unified Approach to Continuous and Discrete Calculus. Results in Mathematics, 1990, vol. 18, issue 1-2, pp. 18-56. DOI: 10.1007/BF03323153
5. Bohner M., Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications. Boston, Birkhauser, 2001. DOI: 10.1007/978-1-4612-0201-1
6. Bohner M., Peterson A. Advances in Dynamic Equations on Time Scales. Boston, Birkhauser, 2003. DOI: 10.1007/978-0-8176-8230-9
7. Atici F.M., Biles D.C., Lebedinsky A. An Application of Time Scales to Economics. Mathematical and Computer Modelling, 2006, vol. 43, issues 7-8, pp. 718-726. DOI: 10.1016/j.mcm.2005.08.014
8. Christiansen F.B., Fenchel T.M. Theories of Populations in Biological Communities. Lecture Notes in Ecological Studies, vol. 20, Berlin, Springer-Verlag, 1977, pp. 1-36.
9. Agarwal R. P., O'regan D., Saker S. H. Oscillation Criteria for Nonlinear Perturbed Dynamic Equations of Second-Order on Time Scales. Journal of Applied Mathematics and Computing, 2006, vol. 20, issues 1-2, pp. 133-147. DOI: 10.1007/BF02831928
10. Bohner M., Saker S. H. Oscillation of Second Order Nonlinear Dynamic Equations on Time Scales. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 2004, vol. 34, no. 4, pp. 1239-1254.
11. Chen W., Han Z., Sun S., Li T. Oscillation Behavior of a Class of Second-Order Dynamic Equations with Damping on Time Scales. Discrete Dynamic in Nature and Society, 2010, Article ID 907130. 15 p.
12. Da-Xue C., Guang-Hui L. Oscillation Criteria for Non-Linear Second-Order Damped Delay. Dynamic Equations on Time Scales, World Academy of Science, Engineering and Technology, International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering, 2010, vol. 4, no. 1, pp. 185-192.
13. Erbe L., Peterson A., Saker S.H. Oscillation Criteria for Second-Order Non-Linear Dynamic Equations on Time Scales. Journal of London Mathematical Society, 2003, vol. 67, issue 3, pp. 701-714. DOI: 10.1112/S0024610703004228
14. Saker S. H., Agarwal R. P., O'Regan D. Oscillation of Second-Order Damped Dynamic Equations on Time Scales. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, vol. 330, issue 2, pp. 1317-1337. DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.06.103
15. Erbe L., Hassan T.S., Peterson A. Oscillation Criteria for Non-Linear Damped Dynamic Equations on Time Scales. Applied Mathematics and Computation, 2008, vol. 203, issue 1, pp. 343-357. DOI: 10.1016/j.amc.2008.04.038
16. Saker S. H. Oscillation of Second-Order Non-Linear Neutral Delay Dynamic Equations on Time Scales. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2006, vol. 187, issue 2, pp. 123-141. DOI: 10.1016/j.cam.2005.03.039
17. Agacik Z. On Oscillation and Non-Oscillation of Second-Order Dynamic Equations. Applied Mathematics Letters, 2009, vol. 22, issue 1, pp. 136-141. DOI: 10.1016/j.aml.2008.03.003
18. Guseinov G. Sh., Kaymakcalan B. On a Disconjugacy Criterion for Second Order Dynamic Equations on Time Scales. Journal of Computational Applied Mathematics, 2002, vol. 141, issues 1-2, pp. 187-196. DOI: 10.1016/S0377-0427(01)00445-9