Новые результаты о полных эллиптических уравнениях с коэффициентно-операторными граничными условиями типа Робин в некоммутативном случае

В статье доказываются некоторые новые результаты для дифференциальных уравнений эллиптического типа второго порядка с общими граничными условиями типа Робина с некоммутативными структурами. Исследование выполнено при условии, что второй член принадлежит пространствам Соболева. Существование, единственность и оптимальная регулярность классического решения доказаны с использованием теории интерполяции, и получены результаты для класса операторов с ограниченными мнимыми степенями. В работе приводится пример применения данной теории. Результаты, полученные в этой работе, улучшают исследования в коммутативном случае М. Чегага, А. Фавини, Р. Лаббаса, С. Менго и А. Медегри. Вводя в рассмотрение некоторые операторные коммутаторы, обобщено представление решения задачи в коммутативном случае и доказано, что это представление обладает свойством регулярности.

Ключевые слова

эллиптическое дифференциальное уравнение второго порядка; граничные условия Робин в случаях коммутативности; аналитические полугруппы; максимальная регулярность.

Литература

1. Cheggag M., Favini A., Labbas R., Maingot S., Medeghri A. Elliptic Problems with Robin Boundary Coefficient-Operator Conditions in General L_p Sobolev Spaces and Applications. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2015, vol. 8, no. 3, pp. 56-77. DOI: 10.14529/mmp150304
2. Favini A., Labbas R., Maingot S., Meisner M. Study of Complete Abstract Elliptic Differential Equations in Non Commutative Cases. Applicable Analysis, 2012, vol. 91, issue 8, pp. 1495-1510. DOI: 10.10801.00036811.2011.635652
3. Favini A., Labbas R., Maingot S., Meisner M. Boundary Value Problem For Elliptic Differential Equations in Non-Commutative Cases. Discrete and Continuous Dynamics System. Series A, 2013, vol. 33, issue 11-12, pp. 4967-4990. DOI: 10.3934/dcds.2013.33.4967
4. Pruss J., Sohr H. On Operators with Bounded Imaginary Powers in Banach Spaces. Mathematische Zeitschrift, 1990, vol. 203, issue 3, pp. 429-452.
5. Cheggag M., Favini A., Labbas R., Maingot S., Medeghri A. Complete Abstract Differential Equations of Elliptic Type with General Robin Boundary Conditions, in UMD Spaces. Discrete and Continuous Dynamics System. Series S, 2011, vol. 4, no. 3, pp. 523-538. DOI: 10.3934/dcdss.2011.4.523
6. Grisvard P. Spazi di tracce ed applicazioni. Rendiconti di matematica. Serie VI, 1972, vol. 5, pp. 657-729. (in Italian)
7. Meisner M. Etude unifiee d'equations aux derivees partielles de type elliptique regies par des equations differentielles a coefficients operateurs dans un cadre non commutatif: applications concretes dans les espaces de Holder et les espaces L^p. These de doctorat de l'Universite du Havre, 2012.
8. Dore G., Venni A. On the Closedness of the Sum of Two Closed Operators. Mathematische Zeitschrift, 1987, vol. 196, issue 2, pp. 189-201. DOI: 10.1007/BF01163654
9. Favini A., Labbas R., Maingot S., Tanabe H., Yagi A. A Simplified Approach in the Study of Elliptic Differential Equation in UMD Space and New Applications. Funkcialaj Ekvacioj, 2008, vol. 51, no. 2, pp. 165-187.
10. Favini A., Labbas R., Maingot S., Tanabe H., Yagi A. Complete Abstract Differential Equation of Elliptic Type in UMD Spaces. Funkcialaj Ekvacioj, 2006, vol. 49, no. 2, pp. 193-214.
11. Lunardi A. Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems. Basel, Birkhauser, 1995.
12. Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Amsterdam, N.Y., Oxford, North-Holland, 1978.
13. Dore G. L^p Regularity for Abstract Differential Equation. Functional Analysis and Related Topics. Kyoto 1991. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1540. 1993, Berlin, Springer-Verlag, pp. 25-38. DOI: 10.1007/BFb0085472