Стационарные точки уравнения 'реакция-диффузия'

Рассмотрена бесконечномерная динамическая система, заданная уравнением ' реакция-диффузия' с кубической нелинейностью при краевом условии Неймана и фиксированном значении средней величины. Изложена методика приближенного вычисления бифурцирующих решений при малых и конечных значениях закритического приращения параметра. Предложена также методика 'трассировки' траекторий спуска из произвольного состояния (с произвольной концентрацией) в стабильное состояние (с концентрацией, реализующей минимум функционала энергии). Методика основана на вычислении сужения функционала энергии на линейную оболочку основных собственных функций (мод) оператора Лапласа и приближенном построении трассы спуска в виде последовательности точек, сопровождающих траекторию динамической системы. В случае малого закритического приращения бифуркационного параметра вычислены асимптотические представления бифурцирующих решений. В случае конечного закритического приращения бифуркационного параметра приведены примеры вычисления трассы спуска в точки минимума функционала энергии.

Ключевые слова

уравнение 'реакция-диффузия'; гладкий функционал; экстремаль; бифуркация стационарных состояний; моды бифуркации; вариационный метод Ляпунова - Шмидта; траектории спуска в точки минимума.

Литература

1. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970. - 512 с.
2. Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2004. - Т. 12. - С. 3-140.
3. Марри, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях / Дж. Марри. - М.: Мир, 1983. - 397 с.
4. Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн. - М.: Мир, 1985. - 280 с.
5. Казарников, А.В. Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией / А.В. Казарников, С.В. Ревина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 2. - C. 16-28.
6. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия АН СССР. Серия: Математическая. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
7. Свиридюк, Г.А. О задаче Веригина для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. - 2003. - № 7. - С. 54-58.
8. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.
9. Костина, Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений / Т.И. Костина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2011. - № 1. - С. 181-186.
10. Сапронов, Ю.И. Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений / Ю.И. Сапронов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 74-86.
11. Красноселький, М.А. Итерационный процесс с минимальными невязками / М.А. Красноселький, С.Г. Крейн // Математический сборник. - 1952. - Т. 31 (73), № 2. - С. 315-334.
12. Лемешко, А.А. О равномерной сходимости с производными галеркинских приближений к решениям уравнений с параметрами / А.А. Лемешко // Математические модели и операторные уравнения. - 2003. - Т. 2. - С. 94-103.
13. Лемешко, А.А. О равномерной сходимости ньютоновских приближений к решениям уравнений с параметрами / А.А. Лемешко // Сборник трудов молодых ученых математического факультета Воронежского государственного университета. - 2003. - С. 74-83.
14. Ковалева, М.И. Огибающие кривые, точки возврата и бифуркационный анализ нелинейных задач // М.И. Ковалева, Т.И. Костина, Ю.И. Сапронов. - Воронеж: Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил 'Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина', 2015. - 242 с.