Математическое моделирование эредитарного осциллятора Эйри с трением

Работа посвящена вопросам математического моделирования эредитарных колебательных систем с помощью математического аппарата дробного исчисления на примере осциллятора Эйри с трением. Модельное уравнение Эйри было записано в терминах дробных производных Герасимова - Капуто. Далее для этого обобщенного уравнения предложена конечно-разностная схема для численного счета. Рассмотрены вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости такой численной схемы. Приведены результаты моделирования, на основе численного решения построены осциллограммы и фазовые траектории в зависимости от различных значений управляющих параметров.

Ключевые слова

осциллятор Эйри; эредитарность; производная Герасимова - Капуто, конечно-разностная схема; фазовая траектория.

Литература

1. Uchaikin, V.V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory / V.V. Uchaikin. - Beijing, Berlin: Higher Education Press, Springer-Verlag, 2013. - 373 p.
2. Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Вольтерра. - М.: Наука, 1982. - 304 с.
3. Airy, G.B. On the Intensity of Light in the Neighbourhood of a Caustic / G.B. Airy // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1838. - V. 6. - P. 379-402.
4. Хонина, С.Н. Зеркальные лазерные пучки Эйри / С.Н. Хонина, С.Г. Волотовский // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 34, № 2. - С. 203-213.
5. Oldham, K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order / K.B. Oldham, J. Spanier. - London: Academic Press, 1974. - 240 p.
6. Miller, K.S. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differntial Equations / K.S. Miller, B. Ross. - N.-Y.: A Wiley-Interscience Publication, 1993. - 384 p.
7. Паровик, Р.И. Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов / Р.И. Паровик. - Петропавловск-Камчатский: изд-во Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, 2015. - 178 c.
8. Паровик, Р.И. О решении обобщенного уравнения Эйри / Р.И. Паровик // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. - 2014. - Т. 16, № 3. - С. 64-69.
9. Kilbas, A.A. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. - Amsterdam: Elsevier, 2006. - 523 p.
10. Mainardi, F. Fractional Relaxation-Oscillation and Fractional Diffusion-Wave Phenomena / F. Mainardi // Chaos, Solitons & Fractals. - 1996. - V. 7, № 9. - P. 1461-1477.
11. Афанасьев, В.В. Стабилизация фрактального осциллятора инерциальными воздействиями / В.В. Афанасьев, М.П. Данилаев, Ю.Е. Польский // Письма в журнал технической физики. - 2010. - Т. 36, № 7. - С. 1-6.
12. Petras, I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation / I. Petras. - Beijing, Berlin: Higher Education Press, Springer-Verlag, 2011. - 218 p.
13. Tavazoei, M.S. Chaotic Attractors in Incommensurate Fractional Order Systems / M.S. Tavazoei, M. Haeri // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2008. - V. 237, № 20. - P. 2628-2637.
14. Rossikhin, Y.A. Application of Fractional Calculus for Dynamic Problems of Solid Mechanics: Novel Trends and Recent Results / Y.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. - 2010. - V. 63, № 1. - P. 010801.
15. Самарский, А.А. Устойчивость разностных схем / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Наука, 1973. - 415 с.
16. Паровик, Р.И. Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка / Р.И. Паровик // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. - 2014. - Т. 9, № 2. - С. 30-35.
17. Xu, Y. A Finite Difference Technique for Solving Variable-Order Fractional Integro-Differential Equations / Y. Xu, V. Suat Erturk // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. - 2014. - V. 40, № 3. - P. 699-712.