Нелинейные обратные задачи с интегральным переопределением для некоторых нестационарных дифференциальных уравнений высокого порядка

Объектом исследования в работе являются нелинейные обратные коэффициентные задачи для нестационарных дифференциальных уравнений высокого порядка типа псевдогиперболических. Более точно, изучаются задачи определения вместе с решением соответствующего уравнения также неизвестного коэффициента при решении или же при производной решения по временной переменной. Отличительной особенностью рассматриваемых задач является то, что неизвестный коэффициент является функцией лишь от времени. В качестве дополнительного условия в работе используется условие интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования регулярных (имеющих все обобщенные по С.Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Техника доказательства основана на переходе от исходной обратной задачи к новой, уже прямой, задаче для вспомогательного интегро-дифференциального уравнения, доказательстве ее разрешимости и построении по решению вспомогательной задачи решения исходной обратной задачи.

Ключевые слова

псевдогиперболические уравнения высокого порядка; обратная задача; регулярные решения; существование.

Литература

1. Prilepko, A.I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - N.-Y.: Marcel Dekker, 1999.
2. Denisov, A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems / A.M. Denisov. - Utrecht: VSP, 1999.
3. Kozhanov, A.I. Composite Types Equations and Inverse Problems / A.I. Kozhanov. - Utrecht: VSP, 1999.
4. Anikonov, Yu.E. Inverse Problems for Kinetic and Other Evolution Equations / Yu.E. Anikonov. - Utrecht: VSP, 2001.
5. Lorenzi, A. An Introduction to Mathematical Problems via Functional Analysis / A. Lorenzi. - Utrecht: VSP, 2001.
6. Romanov, V.G. Investigation Methods for Inverse Problems / V.G. Romanov. - Utrecht: VSP, 2002.
7. Belov, Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations / Yu.Ya. Belov. - Utrecht: VSP, 2002.
8. Lavrentiev, M.M. Inverse Problems of Mathematical Physics / M.M. Lavrentiev. - Utrecht: VSP, 2003.
9. Ivanchov, M. Inverse Problems for Equations of Parabolic Type / M. Ivanchov. - Lvev: WNTL Publisher, 2003.
10. Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equations / V. Isakov. - N.-Y.: Springer, 2006.
11. Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. - Новосибирск: Сиб. кн. изд-во, 2009.
12. Cannon, J.R. Determination of a Parameter p(t) in Some Quasilinear Parabolic Differential Equations / J.R. Cannon, Y. Lin // Inverse Problems. - 1988. - V. 4. - P. 35-45.
13. Iванчов, M.I. Обернена задача з вильною межею для рiвняння теплопроводностi / M.I. Iванчов // Украинский математический журнал. - 2003. - Т. 55, № 7. - С. 901-910.
14. Slodicka, M. Determination of a Solely Time-Dependent Source in a Semilinear Parabolic Problem by Means of Boundary Measurements / M. Slodicka // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2015. - V. 289. - P. 433-440.
15. Кожанов, А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, № 12. - С. 2168-2184.
16. Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения старшего коэффициента в уравнении составного типа / А.И. Кожанов // Вестник ЮУрГУ. Математическое моделирование и программирование. - 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 27-36.
17. Кожанов, А.И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа / А.И. Кожанов // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия Математика, механика, информатика. - 2008. - Т. 8, вып. 3. - С. 81-99.
18. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых нелокальных и связанных с ними обратных задач для параболических уравнений / А.И. Кожанов // Математические заметки Якутского государственного университета. - 2011. - Т. 18, вып. 2. - С. 64-78.
19. Телешева, Л.А. Обратная задача для параболических уравнений высокого порядка: случай неизвестного коэффициента, зависящего от времени / Л.А. Телешева // Вестник БГУ. Математика и информатика. - 2010. - № 9. - С. 175-182.
20. Телешева, Л.А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при производной по времени / Л.А. Телешева // Математические заметки Якутского государственного университета. - 2011. - Т. 18, вып. 2. - С. 180-201.
21. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973.
22. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1995.
23. Треногин, Б.П. Функциональный анализ / Б.П. Треногин. - М.: Наука, 1980.
24. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.: Физматлит, 2002.
25. Амандус, Н.Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ч. 1. / Н.Е. Амандус, А.И. Кожанов, И.В. Шваб. - Новосибирск: НГУ, 2008.