The Mathematical Modelling of the Dynamics of Systems with Redundant Coordinates in the Neighborhood of Steady Motions

В переменных Лагранжа разрабатывается применение свободных от множителей связей векторно-матричных уравнений движения к задачам устойчивости и стабилизации установившихся движений систем с геометрическими связями. В уравнениях возмущенного движения выделяются обязательно присутствующие при любом способе управления переменные - зависимые координаты, соответствующие нулевым корням характеристического уравнения. Обосновываются преимущества использования уравнений в форме, предложенной М.Ф. Шульгиным. Разрабатывается подход, основанный на применении модели в переменных Рауса на этапе определения коэффициентов стабилизирующего управления и модели в переменных Лагранжа для построения системы асимптотической оценки фазового состояния объекта. Анализируются дополнительные в сравнении с ранее полученными результатами возможности сокращения размерностей вектора измерений, доставляемые выбранным способом моделирования. Стабилизирующее линейное управление реализуется в виде обратной связи по оценке фазового состояния, полученной по измерению возможно меньшей размерности.
Коэффициенты управления и системы оценивания определяются решением методом Н.Н. Красовского соответствующих линейно-квадратичных задач для выделяемых управляемых подсистем. Заключение об асимптотической устойчивости в силу этих нелинейных уравнений следует из ранее доказанной теоремы, основанной на методах нелинейной теории устойчивости и анализе условий, накладываемых геометрическими связями на начальные возмущения.

Ключевые слова

геометрические связи; избыточные координаты; уравнения М.Ф. Шульгина; устойчивость; стабилизация; стационарные движения.

Литература

1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука, 1987.
2. Кунцевич, В.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова / В.М. Кунцевич, М.М. Лычак. - М.: Наука, 1977.
3. Румянцев, И.В. Об устойчивости стационарных движений спутников / И.В. Румянцев. - М.: ВЦ АН СССР, 1967.
4. Шульгин, М.Ф. О некоторых дифференциальных уравнениях аналитической динамики и их интегрировании / М.Ф. Шульгин. - Ташкент: Изд-во САГУ, 1958.
5. Лурье, А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. - М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961.
6. Ляпунов, А.М. Лекции по теоретической механике / А.М. Ляпунов. - Киев: Наукова думка, 1982.
7. Новожилов, И.В. Уравнения движения механических систем в избыточном наборе переменных / И.В. Новожилов, М.Ф. Зацепин // Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 18. - М.: Высшая школа, 1987. - С. 62-66.
8. Зенкевич, С.Л., Ющенко, А.С. Основы управления манипуляционными роботами / С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко. - М.: Изд-во Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, 2004.
9. Красинская, Э.М. О развитии научных методов школы М.Ф. Шульгина в применении к задачам устойчивости и стабилизации равновесий мехатронных систем с избыточными координатами / Э.М. Красинская, А.Я. Красинский, К.Б. Обносов // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Т. 28. - М.: Изд-во Московского гос. ун-та, 2012. - С. 169-184.
10. Красинская, Э.М. Об устойчивости и стабилизации равновесия механических систем с избыточными координатами / Э.М. Красинская, А.Я. Красинский // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2013. - № 3. - С. 347-376.
11. Ляпунов, А.М. Собрание сочинений. Т. 2 / А.М. Ляпунов. - М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - 481 с.
12. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. - М.: Наука, 1966.
13. Каменков, Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Избранные труды. Т. 2 / Г.В. Каменков. - М.: Наука, 1972. - 215 с.
14. Красинский, А.Я. О методе исследования одного класса задач стабилизации при неполной информации о состоянии / А.Я. Красинский, Э.М. Красинская // Труды международной конференции 'Динамика систем и процессы управления'. - Екатеринбург: Изд-во Ин-та математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, 2015. - С. 228-235.
15. Красинский, А.Я. Об одном методе исследования устойчивости и стабилизации неизолированных установившихся движений механических систем / А.Я. Красинский // Избранные труды VIII Международного семинара 'Устойчивость и колебания нелинейных систем управления'. - М.: Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2004. - С. 97-103.
16. Красинская, Э.М. Об одном методе исследования устойчивости и стабилизации установившихся движений механических систем с избыточными координатами / Э.М. Красинская, А.Я. Красинский // Материалы XII Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014). - М.: Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. - С. 1766-1778.
17. Красинский, А.Я Моделирование динамики стенда GBB 1005 BALL AND BEAM как управляемой механической системы с избыточной координатой / А.Я. Красинский, Э.М. Красинская // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2014. - № 1. - С. 282-297.
18. Yu, W. Nonlinear PD Regulation for Ball and Beam System / W. Yu // International Journal of Electrical Engineering Education. - 2009. - V. 46, № 1. - P. 59-73.
19. Min-Sung Koo. Adaptive Nonlinear Control of a Ball and Beam System Using Centrifugal Force Term / Min-Sung Koo, Ho-Lim Choi, Jong-Tae Lim // International Journal of Innovative Computing, Information and Control. - 2012. - V. 8, № 9. - P. 5999-6009.
20. Клоков, А.С. О стабилизируемости тривиальных установившихся движений гироскопически связанных систем с псевдоциклическими координатами / А.С. Клоков, В.А. Самсонов // Прикладная математика и механика. - 1985 - Т. 49, № 2. - С. 199-202.
21. Красинская, Э.М. Об устойчивости и стабилизации неизолированных установившихся движений механических систем. Голономные системы / Э.М. Красинская, А.Я. Красинский // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: Изд-во Ульяновского государственного технического университета, 2011. - С. 301-322
22. Красинский, А.Я. О стабилизации установившихся движений систем с циклическими координатами / А.Я. Красинский // Прикладная математика и механика. - 1992. - № 56. - С. 939-950.
23. Aiserman, M.A. Stabilitaet der gleichgewichtslage in einem nichtholonomen system / M.А. Aiserman, F.R. Gantmacher // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 1957. - V. 37, № 1-2. - P. 74-75.
24. Каленова, В.И. К задаче стабилизации установившихся движений систем циклическими координатами / В.И. Каленова, В.М. Морозов, М.А. Салмина // Прикладная математика и механика. - 1989. - Т. 53, № 5. - С. 707-713.
25. Калман, Р. Очерки по математической теории ситем / Р. Калман , П. Фалб , М. Арбиб. - М.: УРСС, 2010.
26. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. - М.: Наука, 1971. - 508 с.