Разностная схема для решения уравнений роста опухоли с учетом ограничения потока

В статье исследована одномерная математическая модель роста раковой опухоли в квазилинейных уравениях параболического типа. В модели вводится ограничение на полный поток подвижных опухолевых клеток, что приводит к возможности вырождения системы уравнений в гиперболический тип и появлению разрывных (слабых) решений. Для нахождения слабых решений развитие опухоли трактовалось как появление новой фазы. В итоге решение задачи свелось к решению обобщенной (нелинейной) задачи Стефана. Предложена и реализована разностная схема для данной задачи с явным выделением подвижной границы фазового перехода. Показано, что данный подход позволяет описывать различные режимы опухолевого роста.

Ключевые слова

разностная схема; таксис по субстрату; задача с подвижной границей; выделение разрыва.

Литература

1. Астанин, С.А. Влияние пространственной гетерогенности среды на рост и инвазию опухоли. Анализ методами математического моделирования / С.А. Астанин, А.В. Колобов, А.И. Лобанов, Т.П. Пименова, А.А. Полежаев, Г.И. Соляник // Медицина в зеркале информатики. - М.: Наука, 2008. - C. 188-223.
2. Албу, А.Ф. О процессе плавления с ограничением на скорость остывания / А.Ф. Албу, В.И. Зубов // Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14, № 5. - С. 119-123.
3. Волосевич, П.П. Динамика и нагрев плазмы с учетом релаксации теплового потока / П.П. Волосевич, Н.В. Змитренко, Е.И. Леванов, Е.В. Северина // Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20, № 4. - С. 57-68.
4. Freeman, A.E. In Vivo-Like Growth of Human Tumors in Vitro / A.E. Freeman, R.M. Hoffman // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. - 1986. - V. 83, № 8. - P. 2694-2698.
5. Hsiao, A.Y. Microfluidic System for Formation of PC-3 Prostate Cancer Co-Culture Spheroids / A.Y. Hsiao, Y. Torisawaa, Y.C. Tunga, S. Sudb, R.S. Taichmanc, K.J. Pientab, S. Takayamaet // Biomaterials. - 2009. - V. 30. - P. 3020-3027.
6. Федоренко, Р.П. Разностная схема для задачи Стефана / Р.П. Федоренко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1339-1344.
7. Низьев, В.Г. Численное моделирование плавления двухкомпонентных порошков при лазерном спекании / В. Г. Низьев, А. В. Колдоба, Ф. Х. Мирзаде, В. Я. Панченко, Ю. А. Повещенко, М. В. Попов// Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 4. - С. 90-102.
8. Scharfetter, D.L. Large-Signal Analysis of Silicon Read Diode Oscillator / D.L. Scharfetter, H.K. Gummel // IEEE Transactions on Electron Devices. - 1969. - V. 16, № 1. - P. 64-77.