Normal Forms of the Degenerate Autonomous Differential Equations with the Maximal Jordan Chain and Simple Applications

Вырожденные дифференциальные уравнения, как часть алгебро-дифференциальных уравнений, последние десятилетия вызывают все больший интерес среди исследователей, как в силу привлекательности рассматриваемых теоретических вопросов, так и в силу их приложений. В настоящее время развитые в данной области методы используются для системного моделирования и анализа электрических и электронных цепей, моделирования химических реакций, теории оптимизации и автоматического регулирования, а также вo многих других областях. В настоящей работе теория нормальных форм дифференциальных уравнений, берущая свое начало в работах А. Пуанкаре, а последнее время развиваемая в работах В.И. Арнольда и его учеников, адаптируется к простейшим случаям вырожденных дифференциальных уравнений. Для этого существенно используется техника жордановых цепочек, давно и широко используемая в различных задачах теории бифуркации. Изучаются нормальные формы вырожденных дифференциальных уравнений в случае существования максимальной жордановой цепочки. Подробно изучаются случаи размерностей 2 и 3. Нормальные формы являются единственно возможными представителями вырожденных дифференциальных уравнений, сводящихся к своей нормальной форме. Поэтому нормальные формы следует считать модельными.

Ключевые слова

вырожденные дифференциальные уравнения; нормальные формы; жордановы цепочки.

Литература

1. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. - М.: Наука, 1969.
2. Арнольд, В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. - М.: Московский центр непрерывного математического образования, 1999.
3. Ван, Д. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости / Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. - М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2005.
4. Jooss, G. Topics in Bifurcation Theory and Applications / G. Jooss, M. Adelmeyer. - Singapore; New Jersey; London; Hong Kong: World Scientific, 1992.
5. Логинов, Б.В. Нормальные формы вырожденных автономных и неавтономных дифференциальных уравнений с максимальной жордановой цепочкой длины два и три / Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак, Л.Р. Ким-Тян // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2015. - Т. 12. - С. 58-71.
6. Логинов, Б.В. Нормальные формы для вырожденных неавтономных дифференциальных уравнений в пространствах $R^{n}$, n=2,3,4 / Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак, Л.Р. Ким-Тян // Сборник научных трудов 'Прикладная математика и механика'. - Ульяновск: УлГТУ, 2014. - № 10. - C. 142-160.
7. Loginov, B.V. Differential Equations with Degenerated Variable Operator at the Derivative / B.V. Loginov, Yu.B. Rousak, L.R. Kim-Tyan // Current Trends in Analysis and Its Applications. Proceedings of the 9th ISAAC Congress. - 2015. - P. 101-108.
8. Marszalek, W. Fold Points and Singularity Induced Bifurcation in Inviscid Transonic Flow / W. Marszalek // Physics Letters A. - 2012. - V. 376, issues 28-29. - P. 2032-2037.
9. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950.