Approximation of Solutions to the Boundary Value Problems for the Generalized Boussinesq Equation

Работа посвящена одной из математических моделей соболевского типа фильтрации жидкости в пористом слое. В решении прикладных задач значимыми являются результаты, позволяющие получать их численные решения. Предлагается алгоритм решения начально-краевых задач, описывающих движение свободной поверхности фильтрующейся в слое конечной глубины жидкости: краевые задачи сводятся к задаче Коши для интегро-дифференциальных уравнений, а затем производится их численное интегрирование. Однако, как показывают многочисленные вычислительные эксперименты, указанный алгоритм можно упростить, заменяя интегро-дифференциальные уравнения аппроксимирующими их соответствующими дифференциальными уравнениями Риккати, решения которых может быть найдено также и в явной форме. При этом численные значения решения интегро-дифференциального уравнения заключены между последовательными по времени значениями аппроксимирующими их решениями, что позволяет произвести поточечную оценку погрешностей аппроксимации. Приводятся примеры результатов численного интегрирования и соответствующих аппроксимаций.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; краевые задачи; интегро-дифференциальное уравнение; свободная поверхность; уравнение Риккати.

Литература

1. Дзекцер, Е.С. О движении грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер, Г.А. Шадрин // Промышленное и гражданское строительство. - 1971. - Т. 10. - С. 22-44.
2. Sviridyuk, G.A. The Barenblatt - Zheltov - Kochina Model with Additive White Noise in Quasi-Sobolev Spaces // G.A. Sviridyuk, N.A. Manakova / Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2016. - V. 3, № 1. - P. 61-67.
3. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации // Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова / Известия высших учебных заведений. Математика. - 2003. - № 9. - С. 36-41.
4. Zamyshlyaeva, A.A. Mathematical Models Based on Boussinesq - Love Equation // A.A. Zamyshlyaeva, E.V. Bychkov, O.N. Tsyplenkova / Applied Mathematical Sciences. - 2014. - V. 8, № 110. - P. 5477-5483.
5. Свиридюк, Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1989. - № 2. - С. 55-61.
6. Фураев, В.З. О разрешимости краевых задач и задач Коши для обобщенного уравнения Буссинеска в теории нестационарной фильтрации: дис. ldots канд. физ.-мат. наук / В.З. Фураев. - М.: Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы, 1983.
7. Фураев, В.З. О разрешимости в целом первой краевой задачи для обобщенного уравнения Буссинеска / В.З. Фураев // Дифференциальные уравнения. - 1983. - Т. 19, № 11. - С. 2014-2015.