New Approximate Method for Solving the Stokes Problem in a Domain with Corner Singularity

В статье определено понятие R_u-обобщенного решения задачи Стокса с сингулярностью в двумерной невыпуклой многоугольной области с одним входящим углом на
границе области в специальных весовых множествах. Построено новое приближенное решение задачи с помощью весового метода конечных элементов. Предложен итерационный процесс решения полученной системы линейных алгебраических уравнений с блочным переобуславливанием ее матрицы на основе неполного алгоритма Удзавы и обобщенного метода минимальных невязок. Результаты численных экспериментов показали, что скорость сходимости приближенного R_u-обобщенного решения к точному решению задачи не зависит от величины входящего угла на границе области и равна первой степени по шагу сетки h в норме весового пространства W^1_{2,
u}(Omega) для компонент вектора скоростей, в отличие от стандартных конечно-элементных и конечно-разностных схем, приближенное решение которых сходится к точному решению задачи не быстрее чем со скоростью O(h^alpha) в норме пространства W^1_2(Omega) для компонент вектора скоростей, где alpha<1 и степень alpha зависит от величины входящего угла.

Ключевые слова

угловая сингулярность; весовой метод конечных элементов; предобуславливатель.

Литература

1. Rukavishnikov, V.A. The Finite Element Method for a Boundary Value Problem with Strong Singularity / V.A. Rukavishnikov, H.I. Rukavishnikova // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2010. - V. 234 - P. 2870-2882.
2. Rukavishnikov, V.A. New Numerical Method for Solving Time-Harmonic Maxwell Equations with Strong Singularity / V.A. Rukavishnikov, A.O. Mosolapov // Journal of Computational Physics. - 2012. - V. 231.- P. 2438-2448.
3. Moffatt, H.K. Viscous and Resistive Eddies Near a Sharp Corner / H.K. Moffatt // Journal of Fluid Mechanics. - 1964. - V. 18. - P. 1-18.
4. Dauge, M. Stationary Stokes and Navier-tokes System on Two- or Three-dimensional Domains with Corners. I. Linearized Equations / M. Dauge // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 1989. - V. 20. - P. 74-97.
5. Schatz, A.H. Maximum Norm Estimates in the Finite Element Method on Plane Polygonal Domains. Part 1 / A.H. Schatz, L.B. Wahlbin // Mathematics of Computation. - 1978. - V. 32. - P. 73-109.
6. Blum, H. The Influence of Reentrant Corners in the Numerical Approximation of Viscous Flow Problems / H. Blum // Numerical Treatment of the Navier-Stokes Equations. - 1989. - V. 30, № 5. - P. 37-46.
7. Guo, B. Analytic Regularity of Stokes Flow on Polygonal Domains in Countably Weighted Sobolev Spaces / B. Guo, C. Schwab // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2006. - V. 190. - P. 487-519.
8. Burda, P. Precise FEM Solution of a Corner Singularity Using an Adjusted Mesh / P. Burda, J. Novotn'y, J. S'istek // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2005. - V. 47. - P. 1285-1292.
9. Brezzi, F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. - N.Y.: Springer, 1991.
10. Linke, A. Collision in a Cross-Shaped Domain - A Steady 2D Navier-Stokes Example Demonstrating the Importance of Mass Conservation in CFD / A. Linke // Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2009. - V. 198. - P. 3278-3268.
11. Scott, L.R. Norm Estimates for a Maximal Right Inverse of the Divergence Operator in Spaces of Piecewise Polynomials / L.R. Scott, M. Vogelius // Mathematical Modeling and Numerical Analysis. - 1985. - V. 19. - P. 111-143.
12. Рукавишников, В.А. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников, Е.И. Рукавишникова // Доклады Академии наук. - 1994. - Т. 338, № 6. - С. 731-733.
13. Рукавишников, В.А. Схема метода конечных элементов для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников, Е.В. Кузнецова // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2009. - Т. 12, № 3. - С. 313-324.
14. Rukavishnikov, V.A. On the Error Estimation of the Finite Element Method for the Boundary Value Problems with Singularity in the Lebesgue Weighted Space / V.A. Rukavishnikov, H.I. Rukavishnikova // Numerical Functional Analysis and Optimization. - 2013. - V. 34. - P. 1328-1347.
15. Рукавишников, В.А. Весовой векторный метод конечных элементов для одной задачи электромагнетизма с сильной сингулярностью / В.А. Рукавишников, А.О. Мосолапов // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 449, № 2. - С. 144-148.
16. Рукавишников, В.А. О дифференциальных свойствах R_{
u}-обобщенного решения задачи Дирихле / В.А. Рукавишников // Доклады Академии наук СССР. - 1989. - Т. 309, № 6. - С. 1318-1320.
17. Рукавишников, В.А. О единственности R_{
u}-обобщенного решения для краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников // Доклады Академии наук. - 2001. - Т. 376, № 4. - С. 451-453.
18. Рукавишников, В.А. О существовании и единственности R_{
u}-обобщенного решения для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 458, № 3. - С. 261-263.
19. Рукавишников, В.А. Задача Дирихле с вырождением исходных данных на границе области / В.А. Рукавишников, Е.И. Рукавишникова // Дифференциальные уравнения. - 2016. - Т. 52, № 5. - С. 701-704.
20. Ciarlet, P. The Finite Element Method for Elliptic Problems / P. Ciarlet. - Amsterdam: North-Holand, 1978.
21. Qin, J. On the Convergence of Some Low Order Mixed Finite Element for Incompressible Fluids. PhD thesis / J. Qin. - Pennsylvania: Pennsylvania State University, 1994.
22. Bramble, J.H. Analysis of the Inexact Uzawa Algorithm for Saddle Point Problems / J.H. Bramble, J.E. Pasciak, A.T. Vassilev // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1997. - V. 34. - P. 1072-1092.
23. Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems / Y. Saad. - Minneapolis: University of Minnesota, 2003.
24. Olshanskii, M.A. Analysis of a Stokes Interface Problem / M.A. Olshanskii, A. Reusken // Numerische Mathematik. - 2006. - V. 103. - P. 129-149.
25. Verfurth, R. A Review of a Posteriori Error Estimation and Adaptive Mesh-Refinement Techniques / R. Verfurth. - Chichester; Stuttgart: Wiley-Teubner, 1996.