Априорные оценки для метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках для однородной задачи Дирихле

В данной работе представлены априорные оценки точности решения однородной краевой задачи для эллиптического уравнения методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках. Для аппроксимации исходного эллиптического уравнения с известными начально-краевыми условиями методом Галеркина с разрывными базисными функциями, необходимо преобразовать его к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся вспомогательные переменные, представляющие собой компоненты потока искомой величины. Характерной особенностью метода является нахождение вспомогательных переменных на ячейках двойственной сетки. Двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов и является сопряженной к основной неструктурированной треугольной сетке. Численные потоки на границе между элементами находятся с использованием стабилизирующих добавок. Для стабилизирующего параметра порядка порядка 1 показано, что порядок сходимости будет k+frac{1}{2}, а в случае использования стабилизирующего параметра порядка h^{-1} порядок сходимости увеличивается до k+1, когда в качестве базиса используются полиномы степени не ниже k.

Ключевые слова

априорные оценки погрешности; конечные элементы; метод Галеркина с разрывными базисными функциями; разнесенные сетки; эллиптические задачи.

Литература

1. Жалнин, Р.В. Об одном способе решения уравнений диффузионного типа с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированной сетке / Р.В. Жалнин, М.Е. Ладонкина, В.Ф. Масягин, В.Ф. Тишкин // Журнал Средневолжского математического общества. - 2014. - Т. 16, № 2. - С. 7–-13.
2. Жалнин, Р.В. Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галeркина на неструктурированных сетках / Р.В. Жалнин, М.Е. Ладонкина, В.Ф. Масягин, В.Ф. Тишкин // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2015. - Т. 19, № 3. - С. 523-533.
3. Zhalnin, R.V. Solving the Problem of Non-Stationary Filtration of Substance by the Discontinuous Galerkin Method on Unstructured Grids / R.V. Zhalnin, M.E. Ladonkina, V.F. Masyagin, V.F. Tishkin // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2016. - V. 56, № 6. - P. 977-986.
4. Жалнин, Р.В. Применение разрывного метода Галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках / Р.В. Жалнин, М.Е. Ладонкина, В.Ф. Масягин, В.Ф. Тишкин // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 3. - С. 144-151.
5. Cockburn, B. The Local Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Convection-Diffusion Systems / B. Cockburn, C.-W. Shu // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1998. - V. 35. - P. 2440-2463.
6. Bassi, F. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier - Stokes Equations / F. Bassi, S. Rebay // Journal of Computational Physics. - 1997. - V. 131. - P. 267-279.
7. Cockburn, B. The Runge - Kutta Local Projection P1-Discontinuous Galerkin Method for Scalar Conservation Laws / B. Cockburn, C.-W. Shu // RAIRO modelisation mathematique et analyse numerique. - 1991. - V. 25. - P. 337-361.
8. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. - М.: Мир, 1980.
9. Castillo, P. An A Priory Error Analysis of the Local Discontinuous Galerkin Method for Elliptic Problems / P. Castillo, B. Cockburn, I. Perugia, D. Schotzau // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2003. - V. 38. - P. 1676-1706.
10. Thomee, V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems / V. Thomee. - Berlin: Springer, 1997.
11. Pany, A. An hp-Local Discontinuous Galerkin Method for Parabolic Integro-Differential Equations / A. Pany, S. Yadav // Journal of Scientific Computing. - 2010. - V. 46, № 1. - P. 71-99.
12. Babuska, I. The hp-Version of the Finite Element Method with Quasi-Uniform Meshes / I. Babuska, M. Suri // RAIRO modelisation mathematique et analyse numerique. - 1987. - V. 21. - P. 199-238.
13. Dautov, R.Z. Abstract Theory of Hybridizable Discontinuous Galerkin Methods for Second-Order Quasilinear Elliptic Problems / R.Z. Dautov, E.M. Fedotov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. - V. 54, № 3. - P. 474-490.