Mathematical Model of a Wide Class Memory Oscillators

В работе предложена математическая модель для описания широкого класса эредитарных осцилляторов или осцилляторов с памятью. В качестве базового уравнения в такой модели выступает интегро-дифференциальное уравнения вольтеровского типа с разностными ядрами - функциями памяти, которые были выбраны степенными функциями. Этот выбор, с одной стороны, обусловлен широкими приложениями степенных законов и фрактальными свойствами процессов в природе, а с другой, дает возможность применить математический аппарат дробного исчисления. Далее, в работе модельное интегро-дифференциальное уравнение было записано в терминах производных дробных порядков Герасимова - Капуто. Используя аппроксимации операторов дробных порядков, была составлена нелокальная явная конечно-разностная схема, которая дает численное решение предложенной модели. С помощью лемм и теорем сформулированы условия устойчивости и сходимости полученной схемы. Приведены примеры работы численного алгоритма для некоторых эредитарных осцилляторов, построены их осциллограммы и фазовые траектории.

Ключевые слова

математическая модель; задача Коши; эредитарность; производная дробного порядка; конечно-разностная схема; устойчивость; сходимость; осциллограммы; фазовые траектории.

Литература

1. Volterra, V. Sur les Equations Integro-Differentielleset Leurs Applications / V. Volterra // Acta Mathematica. - 1912. - V. 35, № 1. - P. 295-356.
2. Mainardi, F. Fractional Relaxation-Oscillation and Fractional Diffusion-Wave / F. Mainardi // Chaos, Soliton & Fractal. - 1996. - V. 7, № 9. - P. 1461-1477.
3. Petras, I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation / I. Petras. - Berlin; Heidelberg: Springer, 2011.
4. Xu, Y. Models and Numerical Solutions of Generalized Oscillator Equations / Y. Xu, O.P. Agrawal // Journal of Vibration and Acoustics. - 2014. - V. 136. - Article ID 051005.
5. Parovik, R.I. Mathematical Modeling of Nonlocal Oscillatory Duffing System with Fractal Friction / R.I. Parovik // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. - 2015. - V. 10, № 1. - P. 16-21.
6. Parovik, R.I. On a Credit Oscillatory System with the Inclusion of Stick-Slip / R.I. Parovik // E3S Web of Conferences. - 2016. - V. 11. - Article ID 00018.
7. Паровик, Р.И. Математическое моделирование эредитарного осциллятора Эйри с трением / Р.И. Паровик // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование - 2017. - Т. 10, № 1. - С. 138-148.
8. Kim, V.A. Duffing Oscillator with External Harmonic Action and Variable Fractional Riemann - Liouville Derivative Character - Izing Viscous Friction / V.A. Kim // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. - 2016. - V. 13, № 2. - P. 46-49.
9. Lipko, O.D. Mathematical Model of Propagation of Nerve Impulses with Regard Hereditarity / O.D., Lipko // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. - 2017. - V. 16, № 1. - P. 33-43.
10. Kilbas, A.A.Theory and Applications of Fractional Differential Equations / A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. - Amsterdam: Elsevier, 2006.
11. Schroeder, M. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise / M. Schroeder. - N.Y.: W.H. Freeman, 1991.
12. Parovik, R.I. Explicit Finite-Difference Scheme for the Numerical Solution of the Model Equation of Nonlinear Hereditary Oscillator with Variable-Order Fractional Derivatives / R.I. Parovik // Archives of Control Sciences. - 2016. - V. 26, № 3. - P. 429-435.
13. Xu, Y. A Finite Difference Technique for Solving Variable-Order Fractional Integro-Differential Equations / Y. Xu , V.S. Erturk // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. - 2014. - V. 40, № 3. - P. 699-712.