Существование и устойчивость решений одного класса полулинейных уравнений соболевского типа

Изучена однозначная разрешимость задачи Коши для полулинейного уравнения соболевского типа с относительно $p$-секториальным оператором и устойчивость решений этого уравнения в окрестности точки нуль в случае, когда оператор при производной необратим, в частности, его ядро нетривиально. В качестве конкретной интерпретации абстрактных результатов рассмотрена задача термоконвекции для уравнения Осколкова, моделирующего динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости.

Ключевые слова

уравнение Осколкова, уравнения соболевского типа, относительно $p$-секториальный оператор, существование и устойчивость решений

Литература

1. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М.: Мир, 1985.
2. Coleman, B.N. Instability, uniqness and nonexistence theorems for the equation $u_t=u_{xx}-u_{xxt}$ on a strip / B.N. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1965. - V.19. - P. 100 - 116.
3. Levine, H.A. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form $Du_t=-Au + F(u)$ / H.A. Levine // Arch. Rat. Mach. anal. - 1973. - V.51, № 5. - P. 371-386.
4. Showalter, R. E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations / R. E. Showalter. - London; San Francisco; Melbourne: Pitman, 1977.
5. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. - New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker Inc, 1999.
6. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; K$ddot{o}$ln; Tokyo: VSP, 2002.
7. Lyapunov - Shmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. - Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002.
8. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest - order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
9. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; K$ddot{o}$ln; Tokyo: VSP, 2003.
10. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного операторного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г.А. Свиридюк // Докл. акад. наук СССР. - 1986. - Т.289, № 6. - С. 1315 - 1318.
11. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32, № 11. - С. 1538 - 1543.
12. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Мат. заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292 - 297.
13. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 9. - С. 36 - 41.
14. Китаева, О.Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Осколкова / О.Г. Китаева, Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики: тр. семинара, посвященного 60-летию проф. В.Н. Врагова / Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН. - Новосибирск, 2005. - С. 161 - 166.
15. Китаева, О.Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Хоффа / О.Г. Китаева // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 96 - 112.
16. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальное направление. - М., 1985. - Т. 1. - С.7 - 149.
17. Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп / В.Е. Федоров // Вестн. ЮУрГУ. Мат. моделирование и программирование. - 2008. № 15 (115). - C. 89 - 99.
18. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ. - 1994. - Т.6, № 5. С. 252 - 272.
19. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк// Изв. РАН. Сер. матем. - 1993. - Т.57, № 3. - С. 192 - 207.
20. Свиридюк, Г.А. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 5 - 33.
21. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1991. - Т.198. - С. 31 - 48.
22. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригина для линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Неклассические уравнения математической физики: сб. тр. междунар. конф. 'Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения', посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И.Н.Векуа. - Новосибирск, 2007. - С. 150 - 157.
23. Якупов, М.М. Фазовые пpостpанства некотоpых задач гидpодинамики: дис. $ldots$ канд. физ.-мат. наук./ М.М. Якупов. - Челябинск, 1999.