О современных ортогонализованных алгоритмах оптимальной дискретной фильтрации

В настоящее время вычислительные методы оптимального оценивания стали самостоятельной областью исследования и получили большое развитие. Современные численно эффективные ортогонализованные алгоритмы привлекательны не только своей устойчивостью к ошибкам машинного округления, но и приспособленностью алгоритмов, использующих различные типы матричных ортогональных преобразований, к программной реализации на параллельных или векторных вычислительных системах. Эти свойства позволяют разрабатывать новые эффективные информационные технологии, в частности, при решении задач в режиме реального времени и при обработке больших данных. Статья содержит краткий обзор современных ортогонализованных алгоритмов оптимальной линейной дискретной фильтрации. Рассмотрены четыре класса ортогонализованных алгоритмов: квадратно-корневые ортогонализованные алгоритмы, алгоритмы на основе методов взвешенной ортогонализации, J-ортогонализованные алгоритмы и алгоритмы на базе методов сингулярного разложения. Приведена классификация алгоритмов по типам матричных ортогональных преобразований, на основе которых эти алгоритмы построены. Такая классификация позволяет легче понять метод построения ортогонализованного фильтра и выбрать способ эффективной программной реализации при решении практических задач в классе многомерных дискретных линейных стохастических систем. В работе исследованы вычислительные аспекты ортогонализованных алгоритмов: численная устойчивость к ошибкам машинного округления и способы эффективной программной реализации. Все рассмотренные алгоритмы являются алгебраически эквивалентными стандартной реализации дискретного фильтра Калмана, но существенно превосходят его по своим вычислительным свойствам. Полученные результаты сравнительного исследования позволяют сделать вывод о том, что применение ортогонализованных алгоритмов при решении практических задач помогает получить численно эффективные и надежные решения.

Ключевые слова

дискретная фильтрация; линейные стохастические системы; фильтр Калмана; матричные ортогональные преобразования; ортогонализованные алгоритмы.

Литература

1. Kalman, R.E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems / R.E. Kalman // Journal of Basic Engineering. - 1960. - V. 82, № 1. - P. 35-45.
2. Potter, J.E. Statistical Filtering of Space Navigation Measurements / J.E. Potter, R.G. Stern // Proceedings 1963 AIAA Guidance and Control Conference. - 1963. - 13 p.
3. Rauch, H.E. Maximum Likelihood Estimates of Linear Dynamic Systems / H.E. Rauch, C.T. Striebel, F. Tung // AIAA journal. - 1965. - V. 3, № 8. - P. 1445-1450.
4. Dyer, P. Extension of Square-Root Filtering to Include Process Noise / P. Dyer, S. McReynolds // Journal of Optimization Theory and Applications. - 1969. - № 3. - P. 444-459.
5. Schmidt, S.F. Computational Techniques in Kalman Filtering / S.F. Schmidt // Theory and Applications of Kalman Filtering. NATO Advisory Group for Aerospace Research and Development, AGARDograph 139. - 1970.
6. Kaminski, P.G. Discrete Square-Root Filtering: A Survey of Current Techniques / P.G. Kaminski, A.E. Bryson, S.F. Schmidt // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1971. - V. 16, № 6. - P. 727-735.
7. Kaminski, P.G. Square Root Filtering and Smoothing for Discrete Processes. Ph.D. Thesis / P.G. Kaminski. - Stanford University, 1971.
8. Kailath, T. Some New Algorithms for Recursive Estimation in Constant Linear System / T. Kailath // IEEE Transactions on Information Theory. - 1973. - V. 19, № 11. - P. 750-760.
9. Morf, M. Some New Algorithms for Recursive Estimation in Constant, Linear Discrete-Time Systems / M. Morf, G.S. Sidhu, T. Kailath // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1974. - V. 19, № 4. - P. 315-323.
10. Morf, M. Square-Root Algorithms for Least-Squares Estimation /M. Morf, T. Kailath // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1975. - V. 20, № 4. - P. 487-497.
11. Thornton, C.L. Numerical Comparison of Discrete Kalman Filtering Algorithms: an Orbit Determination Case Study / C.L. Thornton, G.J. Bierman // JPL Technical Memorandum 33-771. - Pasadena, 1976. - 48 p.
12. Thornton, C.L. Triangular Covariance Factorizations for Kalman Filtering. Ph.D. Thesis / C.L. Thornton. - University of California at Los Angeles, 1976.
13. Bierman, G.J. Factorization Methods For Discrete Sequential Estimation / G.J. Bierman. - New York: Academic Press, 1977.
14. Фомин, В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация / В.Н. Фомин. - М.: Наука, 1984.
15. Verhaegen, M. Numerical Aspects of Different Kalman Filter Implementations / M. Verhaegen, P. Van Dooren // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1986. - V. 31, № 10. - P. 907-917.
16. Jover, J.M. A Parallel Architecture for Kalman Filter Measurement Update and Parameter Estimation / J.M. Jover, T. Kailath // Automatica. - 1986. - V. 22, № 1. - P. 43-57.
17. Огарков, М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов / М.А. Огарков. - М.: Энергоатомиздат, 1990.
18. Wang, L. Kalman Filter Algorithm Based on Singular Value Decomposition / L. Wang, G. Libert, P. Manneback // Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, Tuczon, 1992. - P. 1224-1229.
19. Sayed, A.H. Extended Chandrasekhar Recursions / A.H. Sayed, T. Kailath // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1994. - V. 9, № 3. - P. 619-622.
20. Park, P. New Square-Root Algorithms for Kalman Filtering / P. Park, T. Kailath // IEEE Transactions on Automatic Control - 1995. - V. 40, № 5. - P. 895-899.
21. Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. - М.: Мир, 1999.
22. Kailath, T. Linear Estimation / T. Kailath, A.H. Sayed, B. Hassibi. - New Jersey: Prentice Hall, 2000.
23. Grewal, M.S. Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB / M.S. Grewal, A.P. Andrews. - New Jersey: Prentice Hall, 2001.
24. Higham, N.J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms / N.J. Higham. - Philadelphia: SIAM, 2002.
25. Higham, N.J. J-Orthogonal Matrices: Properties and Generalization / N.J. Higham // SIAM Review. - 2003. - V. 45, № 3. - P. 504-519.
26. Zhou, B.A. UD Factorization-Based Nonlinear Adaptive Set-Membership Filter for Ellipsoidal Estimation / B. Zhou, J. Han, G. Liu // International Journal of Robust and Nonlinear Control. - 2008. - V. 18. - P. 1513-1531.
27. Daowang, F. Square-Root Second-Order Extended Kalman Filter and its Application in Target Motion Analysis / F. Daowang, L. Teng, H.Z. Tao // Radar, Sonar and Navigation. - 2010. - V. 4, № 3. - P. 329-335.
28. Gibbs, B.P. Advanced Kalman Filtering, Least-Squares and Modeling: A Practical Handbook / B.P. Gibbs. - Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons, 2011.
29. Семушин, И.В. Адаптивные системы фильтрации, управления и обнаружения: коллективная монография / И.В. Семушин, Ю.В. Цыганова, М.В. Куликова и др. - Ульяновск: УлГУ, 2011.
30. Семушин, И.В. Вычислительные методы алгебры и оценивания / И.В. Семушин. - Ульяновск: УлГТУ, 2011.
31. Семушин, И.В. Устойчивые алгоритмы фильтрации - обзор и новые результаты для систем судовождения / И.В. Семушин, Ю.В. Цыганова, К.В. Захаров // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2013. - № 4. - С. 90-112.
32. Kulikova, M.V. Stochastic Volatility Models for Exchange Rates and Their Estimation Using Quasi-Maximum-Likelihood Methods: an Application to the South African Rand / M.V. Kulikova, D.R. Taylor // Journal of Applied Statistics. - 2013. - V. 40, № 3. - P. 495-507.
33. Kulikova, M.V. Adaptive Wave Filtering for Marine Vessels within UD-Based Algorithms / M.V. Kulikova, J.V. Tsyganova, I.V. Semushin // Proceedings of the ECC2016, European Control Conference. - Aalborg, 2016. - P. 807-812.
34. Цыганова, Ю.В. О методах реализации UD-фильтра / Ю.В. Цыганова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 3. - P. 84-104.
35. Semushin, I.V. Numerically Efficient UD Filter Based Channel Estimation for OFDM Wireless Communication Technology / I.V. Semushin, Yu.V. Tsyganova, A.V. Tsyganov, E.F. Prokhorova // Procedia Engineering. - 2017. - V. 201. - P. 726-735.
36. Kulikova, M.V. Improved Discrete-Time Kalman Filtering within Singular Value Decomposition / M.V. Kulikova, J.V. Tsyganova // IET Control Theory and Applications. - 2017. - V. 11, № 5. - P. 2412-2418.
37. Цыганова, Ю.В. Ортогонализованные блочные методы для параметрической идентификации дискретных линейных стохастических систем: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Ю.В. Цыганова. - Ульяновск, 2017.
38. Semushin, I.V. Numerically Efficient LD-computations for the Auxiliary Performance Index Based Control Optimization under Uncertainties / I.V. Semushin, J.V. Tsyganova, A.V. Tsyganov // Proceedings of the 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, Yekaterinburg, Russia, October 15-19, 2018. - Yekaterinburg, 2018. - V. 51. - P. 568-573.
39. D'Souza, Ch. Information Formulation of the UDU Kalman Filter / Ch. D'Souza, R. Zanetti // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. - 2018.