О свойствах решений краевой задачи, моделирующей термокапиллярное течение

Исследуется обратная начально-краевая задача, возникающая при математическом моделировании специальных термокапиллярных двумерных движений жидкости вблизи точки экстремума температуры на твердой стенке. Одна из компонент поля скоростей рассматриваемого движения линейно зависит от продольной координаты, что согласуется с квадратичной зависимостью поля температур от этой же координаты. При малых числах Марангони задача аппроксимируется линейной, решение которой находится в явном виде для стационарного течения. Приведены результаты вычисления нулевого и первого приближения решения обратной стационарной задачи. В нестационарном случае решение определяется в виде квадратур в пространстве изображений по Лапласу. Показано, что если температура на твердой стенке стабилизируется с ростом времени, то решение стремится к найденному стационарному режиму. Приведены численные результаты обращения преобразования Лапласа, подтверждающие теоретические выводы на примере моделирования процесса возникновения термокапиллярного движения из состояния покоя в слое трансформаторного масла. Показано, что, выбирая тот или иной тепловой режим на твердой стенке, можно управлять движением жидкости внутри слоя.

Ключевые слова

обратная задача; преобразование Лапласа; термокапиллярность.

Литература

1. Andreev, V.K. Mathematical Models of Convection / V.K. Andreev. - Berlin; Boston: Walter de Gruyter GmbH & CO KG, 2012.
2. Таблицы физических величин: справочник / под ред. И.К. Кикоина. - М.: Атомиздат, 1976.
3. Зейтунян, Р.Х. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара - Марангони / Р.Х. Зейтунян // Успехи физических наук. - 1998. - Т. 168, № 3. - С. 259-286.
4. Hiemenz, K. Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen Flussigkeitsstrom eingetauchten
geraden Kreiszylinder / K. Hiemenz // Digitalisierung des Polytechnischen Journals. - 1911. - V. 3326. - P. 321-324.
5. Brady, J.F. Steady Flow in a Channel or Tube with an Accelerating Surface Velocity / J.F. Brady, A. Acrivos // Journal of Fluid Mechanics. - 1981. - V. 112. - P. 127-150.
6. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1970.
7. Andreev, V.K. Unsteady 2D Motions a Viscous Fluid Described by Partially Invariant Solutions to the Navier - Stokes Equations / V.K. Andreev // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. - 2015. - V. 8, № 2. - P. 140-147.
8. Андреев, В.К. О решении одной обратной задачи, моделирующей двумерное движение вязкой жидкости / В.К. Андреев // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 4. - С. 5-16.
9. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973.