Фазовое пространство первой начально-краевой задачи для системы Осколкова высшего порядка

В последние десятилетия теория уравнений соболевского типа активно изучается в различных аспектах. Применение полугруппового подхода к теории уравнений соболевского типа получило плодотворное развитие в работах научного направления, которое возглавляет Г.А. Свиридюк. Данная работа примыкает к этому научному направлению. В работе исследуется первая начально-краевая задача для системы Осколкова. В нашем случае система моделирует динамику плоскопараллельного течения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта высшего порядка. Эта задача имеет преимущество, так как фазовое пространство для вышеуказанной системы может быть описано полностью при различных значениях параметра, который характеризует упругие свойства жидкости. Изложению этого факта и посвящена данная статья. Исследование проводится в русле теории полулинейных автономных уравнений соболевского типа на основе понятий квазистационарной траектории и относительно спектрально ограниченного оператора.

Ключевые слова

несжимаемая вязкоупругая жидкость Кельвина - Фойгта; системы Осколкова; уравнения соболевского типа; квазистационарные траектории; фазовое пространство.

Литература

1. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина - Фойгта и Олдройта / А.П. Осколков // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.
2. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия вузов. Математика. - 1988. - № 1. - С. 74-79.
3. Осколков, А.П. Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром, аппроксимирующей систему Навье - Стокса / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1980. - Т. 96. - С. 233-236.
4. Свиридюк, Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24, № 10. - С. 1846-1848.
5. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 250-258.
6. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сибирский математический журнал. - 1990. - Т. 31, № 5. - С. 109-119.
7. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи математических наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
8. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht, Boston: VSP, 2003.
9. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия РАН. Серия: Математика. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
10. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 5. - С. 252-272.
11. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, № 11. - С. 1538-1543.
12. Кондюков, А.О. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова ненулевого порядка / А.О. Кондюков, Т.Г. Сукачева // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 5. - С. 823-829.
13. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. - М.: Мир, 1967.
14. Борисович, Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере - Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи математических наук. - 1977. - Т. 32, № 4. - С. 3-54.
15. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012.
16. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012.
17. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высшего порядка / А.А. Замышляева. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012.
18. Загребина, С.А. Устойчивые и неустойчивые многообразия решений полулинейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина, М.А. Сагадеева. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2016.
19. Zagrebina, S.A. A Multipoint Initial-Final Value Problem for a Linear Model of Plane-Parallel Thermal Convection in Viscoelastic Incompressible Fluid / S.A. Zagrebina // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 3. - С. 5-22.
20. Zamyshlyaeva, A.A. The Cauchy Problem for the Sobolev Type Equation of Higher Order / A.A. Zamyshlyaeva, E.V. Bychkov // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2018. - Т. 11, № 1. - С. 5-14.
21. Keller, A.V. On the Computational Efficiency of the Algorithm of the Numerical Solution of Optimal Control Problems for Models of Leontieff Type / A.V. Keller // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2015. - V. 2, № 2. - P. 39-59.
22. Sviridyuk, G.A. The Barenblatt-Zheltov-Kochina Model with Additive White Noise in Quasi-Sobolev Spaces / G.A. Sviridyuk, N.A. Manakova // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2016. - V. 3, № 1. - P. 61-67.