About Nonuniqueness of Solutions of the Showalter- Sidorov Problem for One Mathematical Model of Nerve Impulse Spread in Membrane

Статья посвящена изучению морфологии фазового пространства математической модели распространения нервного импульса в мембране, основанной на вырожденной системе уравнений Фитц Хью - Нагумо, заданной на ограниченной области с гладкой границей. В данной математической модели скорость изменения одной из компонент системы может значительно превосходить другую, что приводит к вырожденной системе уравнений Фитц Хью - Нагумо. Изучаемая модель относится к широкому классу полулинейных моделей соболевского типа. Для исследования вопроса неединственности решений задачи Шоуолтера - Сидорова будет использован метод фазового пространства, который был разработан Г.А. Свиридюком для исследования разрешимости уравнений соболевского типа. Нами будет показано, что фазовое пространство исследуемой модели содержит особенности типа складки Уитни и выявлены условия существования, единственности или множественности решений задачи Шоуолтера - Сидорова в зависимости от параметров системы.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; задача Шоуолтера - Сидорова; система уравнений Фитц Хью - Нагумо; неединственность решений.

Литература

1. Fitz Hugh, R. Mathematical Models of Threshold Phenomena in the Nerve Membrane / R. Fitz Hugh // Bulletin of Mathematical Biology. - 1955. - V. 17, № 4. - P. 257-278.
2. Nagumo, J. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon / J. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizawa // Proceedings of the IRE. - 1962. - V. 50, № 10. - P. 2061-2070.
3. Pesin, Ya.B. Some Physical Models Described by the Reaction-Diffusion Equation, and Coupled Map Lattices / Ya.B. Pesin, A.A. Yurchenko // Russian Mathematical Surveys. - 2004. - V. 59, № 3. - P. 481-513.
4. Glyzin, S.D. On a Modification of the FitzHugh - Nagumo Neuron Model / S.D. Glyzin, A.Yu. Kolesov, N.Kh. Rozov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. - V. 54, № 3. - P. 443-461.
5. Манакова, Н.А. Оптимальное управление для одной математической модели распространения нервного импульса / Н.А. Манакова, О.В. Гаврилова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 4. - C. 120-126.
6. Гаврилова, О.В. Задача стартового управления и финального наблюдения для системы уравнений Фитц Хью - Нагумо с условием Дирихле - Шоуолтера - Сидорова / О.В. Гаврилова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2018. - T. 10, № 3. - C. 12-18.
7. Бокарева, Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Математические заметки. - 1994. - Т. 55, № 3. - С. 3-10.
8. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 2. - С. 252-272.
9. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной обобщенной модели Осколкова / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Cибирский математический журнал. - 2003. - Т. 44, № 5. - С. 1124-1131.
10. Манакова, Н.А. Неклассические уравнения математической физики. Фазовые пространства полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8, № 3. - C. 31-51.
11. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия АН СССР. Серия: Математическая. - 1994. - Т. 57, № 3. - C. 192-207.
12. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 51-72.
13. Свиридюк, Г.А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.Ф. Карамова // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 10. - С. 1476-1581.
14. Гильмутдинова, А.Ф. О неединственности решений задачи Шоуолтера - Сидорова для одной модели Плотникова / А.Ф. Гильмутдинова // Вестник СамГУ. - 2007. - № 9/1. - С. 85-90.
15. Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - М.: Мир, 1978.