Comparison of Quasi-Stationary and Non-Stationary Solutions of Electrochemical Machining Problems Applying to Precision Cutting with Plate Electrode-Tool

Сформулирована квазистационарная задача для моделирования процесса электрохимической резки пластинчатым электродом-инструментом. Постановка задачи основана на использовании ступенчатой функции выхода по току от плотности тока. При этом на обрабатываемой поверхности образуются три зоны с различными условиями. В области высоких плотностей тока используется обычное условие стационарности. В области малых плотностей тока растворение отсутствует и сохраняется начальная форма границ. В промежуточной зоне плотность тока в каждой точке равна критическому значению. Наличие краевых условий на каждом участке обрабатываемой поверхности позволяет сформулировать краевую задачу для аналитической функции комплексного переменного и найти форму границы в любой момент времени, независимо от предыстории. Проведено сравнение решений квазистационарной и нестационарной задач, и найден диапазон существования квазистационарного решения.

Ключевые слова

электрохимическое формообразование; ступенчатая функция; квазистационарная модель; оценка погрешности.

Литература

1. Клоков, В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование / В.В. Клоков // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казанский государственный университет. - 1979. - № 16. - С. 94-102.
2. Газизов, Е.Р. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току / Е.Р. Газизов, Д.В. Маклаков // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении. - Казань: Казанский авиационный институт. - 1994. - С. 32-35.
3. Datta, M. Fundamental Aspects and Applications of Electrochemical Microfabrication / M. Datta, D. Landolt // Electrochimica Acta. - 2000. - V. 45. - P. 2535-2558.
4. Forster, R. Micro-ECM for Production of Microsystems with a High Aspect Ratio / R. Forster, A. Schoth, W. Menz // Microsystem Technologies. - 2005. - V. 11. - P. 246-249.
5. Shin, H.Sh. Analysis of the Side Gap Resulting from Micro Electrochemical Machining with a Tungsten Wire and Ultrashort Voltage Pulses / H.Sh. Shin, B.H. Kim, Ch.N. Chu // Journal of Micromechanics and Microengineering. - 2008. - V. 18. - P. 1-6.
6. Wang, S. Micro Wire Electrode Electrochemical Cutting with Low Frequency and Small Amplitude Tool Vibration / S. Wang, D. Zhu, Y. Zeng, Y. Liu // International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2011. - V. 53, № 5-8. - P. 535-544.
7. Wang, F.Y. Numerical Simulation of Electrochemical Machining Process and Machined Surface Prediction / F.Y. Wang, J.W. Xu, J.S. Zhao // Key Engineering Materials. - 2011. - V. 45 , № 8. - P. 99-105.
8. Qu, N. Wire Electrochemical Machining with Axial Electrolyte Flushing for Titanium Alloy / N. Qu, X. Fang, W. Li, Y. Zeng, Di Zhu // Chinese Journal of Aeronautics. - 2013. - V. 26, № 1. - P. 224-229.
9. Zhu, D. Cathode Design Investigation Based on Iterative Correction of Predicted Profile Errors in Electrochemical Machining Of Compressor Blades / D. Zhu, C. Liu, Z. Xu, J. Liu // Chinese Journal of Aeronautics. - 2016. - V. 29, № 4. - P. 1111-1118.
10. Котляр, Л.М. Моделирование электрохимического формообразования с использованием криволинейного электрода при ступенчатой зависимости выхода по току от его плотности / Л.М. Котляр, Н.М. Миназетдинов // Прикладная механика и теоретическая физика. - 2016. - Т. 44, № 1. - С. 146-155.
11. Guo, C. Electrochemical Machining with Scanning Micro Electrochemical Flow Cell / C. Guo, J. Qian, D. Reynaers // Journal of Materials Processing Technology. - 2017. - V. 24, № 7. - P. 171-183.
12. Волгин, В.М. Псевдонестационарный метод моделирования электрохимического формообразования / В.М. Волгин, А.Д. Давыдов // Электрохимия. - 2017. - Т. 53, № 10. - C. 1248-1265.
13. Guo, C. A Three-Dimensional FEM Model of Channel Machining by Scanning Micro Electrochemical Flow Cell and Jet Electrochemical Machining / C. Guo, J. Qian, D. Reynaers // Precision Engineering. - 2018. - V. 52. - P. 507-519.
14. Zhitnikov, V.P. Stationary Electrochemical Machining Simulation Applying to Precision Technologies / V.P. Zhitnikov, N.M. Sherykhalina, S.S. Porechny // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2017. - Т. 10, № 4. - P. 15-25.
15. Christiansen, S. Numerical Solutions for Two-Dimensional Annular Electrochemical Machining Problems / S. Christiansen, H. Rasmussen // Journal of the Institute of Mathematics and its Applications. - 1976. - № 18. - P. 295-307.
16. Kenney, J.A. Electrochemical Machining with Ultrashort Voltage Pulses: Modelling of Charging Dynamics and Feature Profile Evolution / J.A. Kenney, G.S. Hwang // Nanotechnology. - 2005. - V. 16, № 7. - P. 309-313.
17. Zhitnikov, V.P. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining / V.P. Zhitnikov, G.I. Fedorova, O.V. Zinatullina, A.V. Kamashev // Journal of Materials Processing Technology. - 2004. - V. 149, № 1-3. - P. 398-403.
18. Zhitnikov, V.P. Numerical Investigation of Non-Stationary Electrochemical Shaping Based on an Analytical Solution of the Hele-Shaw Problem / V.P. Zhitnikov, G.I. Fedorova, N.M. Sherykhalina, A.R. Urakov // Journal of Engineering Mathematics. - 2006. - V. 55, № 1-4. - P. 255-276.
19. Volgin, V. M. Modelling of Wire Electrochemical Machining / V.M. Volgin, V.D. Do, A.D. Davydov // Chemical Engineering Transactions. - 2014. - V. 41. - P. 91-96.
20. Volgin, V.M. Effect of Current Efficiency on Electrochemical Micromachining by Moving Electrode / V.M. Volgin, V.V. Lyubimov, I.V. Gnidina, A.D. Davydov, T.B. Kabanova // Procedia CIRP. - 2016. - V. 55. - P. 65-70.
21. Chen, Y. Multiphysics Simulation of the Material Removal Process in Pulse Electrochemical Machining (PECM) / Y. Chen, M. Fang, L. Jiang // International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2017. - V. 91, № 5-8. - P. 2455-2465.
22. Zhitnikov, V.P. Exact Solutions of Two Limiting Quasistationary Electrochemical Shaping Problems / V.P. Zhitnikov, E.M. Oshmarina, G.I. Fedorova // Russian Mathematics. - 2010. - V. 54, № 10. - P. 67-70.
23. Zhitnikov, V.P. The Use of Discontinuous Functions for Modeling the Dissolution Process of Steady-State Electrochemical Shaping / V.P. Zhitnikov, E.M. Oshmarina, G.I. Fedorova // Russian Mathematics. - 2011. - V. 55, № 12. - P. 16-22.
24. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1987.
25. Henrici, P. Applied and computational complex analysis / P. Henrici. - New York: Wiley Classic Library, 1993.
26. Биркгоф, Г. Струи, следы и каверны / Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло. - М.: Мир, 1964.
27. Zhitnikov, V.P. Problem of Reliability Justification of Computation Error Estimates / V.P. Zhitnikov, N.M. Sherykhalina, A.A. Sokolova // Mediterranean Journal of Social Sciences. - 2015. - V. 6, № 2. - P. 65-78.
28. Aitken, A.C. On Bernoulli's Numerical Solution of Algebraic Equations / A.C. Aitken // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. - 1926. - V. 46. - P. 289-305.
29. Richargson, L.F. The Deferred Approach to the Limit / L.F. Richargson, J.A. Gaunt // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1927. - V. 226. - P. 299-361.
30. Polubarinova-Kochina, P.Ya. Theory of Groundwater Movement / P.Ya. Polubarinova-Kochina. - Princeton: Princeton University Press, 1962.