Сингулярные стохастические уравнения леонтьевского типа в терминах текущих скоростей решения

Изучается система стохастических дифференциальных уравнений, в левой и правой частях которых стоят прямоугольные постоянные числовые матрицы, образующие сингулярный пучок. Система рассматривается в терминах текущих скоростей решения, являющихся прямым аналогом физической скорости детерминированных процессов. Для исследования данной системы мы применяем преобразование Кронекера - Вейерштрасса пучка матриц коэффициентов к канонической форме, что существенно упрощает исследование уравнений. В результате каноническая система уравнений распадается на независимые подсистемы четырех типов. Для подсистем, соответствующих жордановым и сингулярным клеткам Кронекера, получены явные формулы для решений и условия разрешимости, а для подсистемы, разрешенной относительно симметрической производной, с применением замены метрики подпространства и последующему сведению системы к уравнению в форме Ито, доказано существование решения. В результате для рассматриваемой системы доказана теорема существования решений при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты системы.

Ключевые слова

производная в среднем; текущая скорость; винеровский процесс; стохастическое уравнение леонтьевского типа.

Литература

1. Замышляева, А.А. Стохастическая модель оптимальных динамических измерений / А.А. Замышляева, А.В. Келлер, М.Б. Сыропятов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2018. - Т. 11, № 2. - С. 147-153.
2. Шестаков, А.Л. Математическое моделирование состава строительных смесей / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, М.Д. Бутакова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 1. - С. 100-110.
3. Белов, А.А. Дескрипторные системы и задачи управления / А.А. Белов, А.П. Курдюков. - М.: АНО Физматлит, 2015.
4. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London: Springer, 2011.
5. Gliklikh, Yu.E. Stochastic Leontieff Type Equations in Terms of Current Velocities of the Solution / Yu.E. Gliklikh, E.Yu. Mashkov // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2014. - V. 1, № 2. - P. 45-51.
6. Гликлих, Ю.Е. Стохастические уравнения леонтьевского типа в терминах текущих скоростей решения / Ю.Е. Гликлих, Е.Ю. Машков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 3. - С. 31-40.
7. Машков, Е.Ю. О стохастических уравнениях леонтьевского типа с переменными матрицами, заданными в терминах текущих скоростей решения / Е.Ю. Машков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8, № 4. - С. 26-32.
8. Nelson, E. Dynamical Theory of Brownian Motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967.
9. Nelson, E. Quantum Fluctuations / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1985.
10. Партасарати, К.Р. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К.Р. Партасарати. - М.: Мир, 1988.
11. Гихман, И.И. Теория случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. - М.: Наука, 1975.
12. Деммель, Дж. Вычислительная линейная алгебра / Дж. Деммель. - М.: Мир, 2001.