Inverse Spectral Problems and Mathematical Models of Continuum Mechanics

Статья носит обзорный характер и содержит результаты в области спектральных задач для математических моделей с дискретным полуограниченным оператором. В основу теории положены линейные формулы вычисления собственных чисел дискретного оператора и редукция рассматриваемых спектральных задач к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Разработанный на основе метода Галеркина вычислительно эффективный численный метод решения обратных спектральных задач для дискретных полуограниченных операторов позволяет с высокой точностью восстанавливать коэффициентные функции краевых задач. Полученные результаты применимы при исследовании задач для дифференциальных операторов любого порядка. Приведены результаты численного решения обратной спектральной задачи для возмущенного дифференциального оператора четвертого порядка. Проведено исследование некоторых математических моделей механики сплошной среды на основе спектральных задач для дискретного полуограниченного оператора.

Ключевые слова

обратная спектральная задача; дискретный оператор; оператор четвертого порядка, самосопряженный оператор; собственные числа; собственные функции; некорректно поставленные задачи.

Литература

1. Ахтямов, А.М. Определение длины, плотности и модуля упругости коррозионного участка стержня по собственным частотам продольных колебаний / А.М. Ахтямов, Д.Р. Галеева // Вестник Башкирского университета. - 2015. - Т. 20, № 2. - С. 398-402.
2. Anderssen, R.S. The Effect of Discontinuities in Destiny and Shear Velocity on the Asymptotic Overtone Structure of Tortional Ejgenfrecuencies of the Earth / R.S. Anderssen // Astronomical Sciences. - 1997. - V. 50. - P. 303-309.
3. Anosova, E. Parameters of Physically Non-Homogenous Media Reconstructed from the Eigenfrequencies of Their Free Oscillations / Ye.A. Anosova, E.N. Potetunko, Ye.N. Scherbak // Journal of Engineering Mathematics. - 2006. - V. 55. - P. 339-356.
4. Anosova, E. Assesment of the Efliqciency of the Structure Foundation by the Resonanse Frequencies of its Anti Planar Vibrations / E. Anosova, I. Herskowitz, E.N. Potetynko, L.S. Srubshchik // Strures Congress and the Forensic Engineering Symposium. - New York, 2005.
5. Вибрации в технике: колебания линейных систем. - М.: Машиностроение, 1978.
6. Быков, А.А. Потенциальные модели кваркония / А.А. Быков, И.М. Дремин, А.В. Леонидов // Успехи физических наук. - 1984. - Т. 143, № 1. - C. 3-32.
7. Cherkesov, L.V. Reconstruction of Ocean Density Distribution From Its Wave Spectrum / L.V. Cherkesov, E.N. Potetunko, D.S. Shubin // International Journal of Fluid Mechanics Research. - 2003. - V. 30, № 1. - P. 11-23.
8. Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 9. - С. 1563-1567.
9. Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L^2 / В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28, № 9. - С. 1552-1561.
10. Дубровский, В.В. К устойчивости обратных задач спектрального анализа для уравнений математической физики/ В.В. Дубровский // Успехи математических наук. - 1994. - Т. 49, № 3. - С. 171-172.
11. Дубровский, В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям разных задач / В.В. Дубровский // Успехи математических наук. - 1996. - Т. 51, № 4. - С. 155-156.
12. Дубровский, В.В. Теорема существования в обратной задачи спектрального анализа / В.В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33, № 12. - С. 1702-1703.
13. Дубровский, В.В. Обратные задачи спектрального анализа для некоторых дифференциальных операторов в частных производных: дис. канд. физ.-мат. наук / В.В. Дубровский. - Магнитогорск, 2006.
14. Егоров, А.И. Основы теории управления / А.И. Егоров. - М.: Физматлит, 2004.
15. Грэхем, М., Глэдвелл Л. Обратные задачи теории колебаний / М. Грэхем, Л. Глэдвелл. - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2008.
16. Favini, A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Sectorial Operators in Space of 'Noises' / A. Favini, G.A. Sviridyuk, N.A. Manakova // Abstract and Applied Analysis. - 2015. - V. 2015. - Article ID: 697410. - 8 p.
17. Кадченко, С.И. Численные методы регуляризованных следов спектрального анализа / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин. - Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2015.
18. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2013. - № 9. - С. 5-11.
19. Кадченко, С.И. A Numerical Method for Inverse Spectral Problems / S.I. Kadchenko, G.A. Zakirova // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 3. - C. 116-126.
20. Kadchenko, S.I. The Numerical Method of Solving of Inverse Spectral Problems Generated by Perturbed Self-Adjoint Operator / S.I. Kadchenko, G.A. Zakirova, A.I. Kadchenko // 2nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing, ICIEAM 2016. - 2016. - Article ID:7911720. - 8 p.
21. Литвиненко, О.Н. Теория неоднородных линий и их применение в радиотехнике / О.Н. Литвиненко, В.И. Сошников. - М.: Советское радио, 1964.
22. Kachalov, A. Inverse Boundary Spectral Problems / A. Kachalov, Y. Kurylev, M. Lassas. - Florida: CPR Press, 2001.
23. Мещанов, В.П. Автоматизированное проектирование направленных ответвителей СВЧ / В.П. Мещанов, А.Л. Фельдштейн. - М.: Связь, 1980.
24. Миропольский, Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане / Ю.З. Миропольский. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
25. Максимов, В.И. Задача динамического восстановления входов бесконечномерных систем / В.И. Максимов. - Екатеринбург: УРО РАН, 2000.
26. Польский, Н.И. Некоторые обобщения метода Б.Г. Галеркина / Н.И. Польский // Доклады Академии наук СССР. - 1952. - Т. 46, № 1. - С. 469-472.
27. Польский, Н.И. О сходимости некоторых приближенных методов анализа / Н.И. Польский // Украинский математический журнал. - 1955. - Т. 7, № 1. - С. 56-70.
28. Польский, Н.И. Об одной общей схеме применения приближенных методов / Н.И. Польский // Доклады Академии наук СССР. - 1956. - Т. 111, № 6. - С. 1181-1183.
29. Потетюнко, Е.M. Определение плотности океана по одной частоте и соответствующему ей волновому числу, в задаче о свободных колебаниях океана / Е.М. Потетюнко // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - 2011. - № 10. - С. 55-58.
30. Потетюнко, Э.Н. Обратные спектральные задачи / Э.Н. Потетюнко // Успехи современного естествознания. - 2011. - № 2. - С. 99-104.
31. Potetunko, E.N. The Inverse Spectral Problem in the Detection of the Defect End Heteroge / E.N. Potetunko, Ye.N. Scherbak // Enetitles os the Civil Engeneering, Mexico. - 2005. - P. 1-10.
32. Потетюнко, Э.Н. Свободные колебания и обратные спектральные задачи. Волновые движения неоднородной жидкости / Э.Н. Потетюнко, Л.В. Черкесов, Д.С. Шубин, Е.Н. Щербак. - М.: Вузовская книга, 2001.
33. Поляков, А.В. Определение газового состава атмосферы и характеристик аэрозоля затменным методом: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.В. Поляков. - Санкт-Петербург, 2006.
34. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - 1994. - T. 17. - С. 244-248.
35. Садовничий, В.А. О единственности решения обратных задач спектрального анализа / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Л.В. Смирнова // Доклады Академии наук. - 2000. - Т. 370, № 3. - C. 319-321.
36. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 12. - C. 1693-1698.
37. Sharp, T.E. Potential-Energy Curves for Molecular Hydrogen and Its Ions / T.E. Sharp // Atomic Data and Nuclear Data Tables. - 1971. - V. 2. - P. 119-169.
38. Седов, А.И. О приближенном решении обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / А.И. Седов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - T. 16, № 5. - C. 73-78.
39. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой / А.И. Седов, В.В. Дубровский // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2005. - Т. 10, № 1. - С. 4-9.
40. Во Чонг Тхак. Численное исследование моделей волновой и квантовой физики в постановке обратной параметрической спектральной задачи: - М., 2013
41. Валеев, Н.Ф. Об одной модели управления собственными колебаниями динамических систем / Н.Ф. Валеев // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. - 2008. - №. 2. - С. 142-149.
42. Валеев, Н.Ф. Обратные спектральные задачи в теории идентификации линейных динамических систем / Н.Ф. Валеев, М.Г. Юмагулов // Автоматика и телемеханика. - 2009. - Т. 11. - C. 13-20.
43. Юрко, В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. / В.А. Юрко. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
44. Юрко, В.А. Об одной задаче теории упругости / В.А. Юрко // Прикладная математика и механика. - 1990. - Т. 54, № 6. - С. 998-1002.
45. Захарьев, Б.Н. Точно решаемые одно- и многоканальные модели (уроки квантовой интуиции I) / Б.Н. Захарьев, Н.А. Костов, Е.Б. Плеханов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1990. - Т. 21, № 4. - С. 914-962.
46. Знаменская, Л.Н. Управление упругими колебаниями / Л.Н. Знаменскаяю - М.: Физматлит, 2004.
47. Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа в случае задачи Неймана на параллелепипеде / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник ЧелГУ. Математика. Механика. Информатика. - 2008. - № 6. - С. 63-68.
48. Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа / Г.А. Закирова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2008. - № 27 (127), вып. 2. - С. 19-27.
49. Zakirova, G.A. The Asymptotics of Eigenvalues of a Differential Operator in the Stochastic Models with 'White Noise' / G. Zakirova, N. Manakova, G. Sviridyuk // Applied Mathematical Sciences. - 2014. - № 8. - P. 8747-8754.