Inverse Problem for Sobolev Type Mathematical Models

Работа посвящена исследованию обратной задачи для линейного уравнения соболевского типа высокого порядка с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени. Поскольку уравнение может быть вырожденным, используется метод фазового пространства. Он состоит в построении проекторов, расщепляющих исходные пространства в прямую сумму подпространств. Действия операторов также расщепляются. Таким образом, исходная модель сводится к двум задачам: регулярной и сингулярной. Регулярная редуцируется к невырожденной задаче первого порядка, которая решается с помощью аппроксимаций. Получена необходимая гладкость решения. Затем оно подставляется в сингулярную задачу, которая решается с использованием методов теории относительно полиномиально ограниченных пучков операторов. Основной результат работы содержит достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи для математической модели соболевского типа второго порядка. Данная методика может быть использована при исследовании обратных задач рассматриваемого типа для математической модели Буссинеска - Лява.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; обратная задача; математические модели; уравнения второго порядка.

Литература

1. Wang, S. Small Amplitude Solutions of the Generalized IMBq Equation / S. Wang, G. Chen // Mathematical Analysis and Applications. - 2002. - V. 274. - P. 846-866.
2. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.
3. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1987.
4. Favini, A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Sectorial Operators in Space of 'Noises' / A. Favini, G.A. Sviridyuk, N.A. Manakova // Abstract and Applied Analysis. - 2015. - P. 1-8.
5. Федоров, В.Е. Линейная эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, А.В. Уразаева // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск. - 2010. - С. 293-310.
6. Zagrebina, S.A. The Multipoint Initial-Final Value Condition for the Navier - Stokes Linear Model / S.A. Zagrebina, A.S. Konkina // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - T. 8, № 1. - С. 132-136.
7. Manakova, N.A. An Optimal Control of the Solutions of the Initial-Final Problem for Linear Sobolev Type Equations with Strongly Relatively p-Radial Operator / N.A. Manakova, G.A. Sviridyuk // Semigroups of Operators - Theory and Applications. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2015. - V. 113. - P. 213-224.
8. Zamyshlyaeva, A.A. Numerical Investigation of the Boussinesq-Love Mathematical Models on Geometrical Graphs / A.A. Zamyshlyaeva, A.V. Lut // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2017. - Т. 10, № 2. - С. 137-143.
9. Келлер, А.В. Задача оптимального измерения для модели измерительного устройства с детерминированным мультипликативным воздействием и инерционностью / А.В. Келлер, М.А. Сагадеева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 1. - С. 134-138.
10. Бычков, Е.В. Об одной полулинейной математической модели соболевского типа высокого порядка / Е.В. Бычков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 111-117.
11. Цыпленкова, О.Н. Оптимальное управление в математических моделях соболевского типа высокого порядка с (A,p)-ограниченными операторами / О.Н. Цыпленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 129-135.
12. Banasiak, J. Chaotic Behavior of Semigroups Related to the Process of Gene Amplification-Deamplification with Cell Proliferation / J. Banasiak, M. Lachowicz, M. Moszynski // Mathematical Biosciences. - 2007. - V. 206, № 2. - P. 200-2015.
13. Зайнуллов, А.Р. Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности по отысканию начального распределения / А.Р. Зайнуллов // Вестник Самарского государственного университета. Серия: Физико-математические науки. - 2015. - Т. 19, № 4. - С. 667-679.
14. Сафиуллова, Р.Р. Обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / Р.Р. Сафиуллова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 4. - С. 73-86.
15. Мегралиев, Я.Т. Обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка с интегральным условием первого рода / Я.Т. Мегралиев, Г.Н. Искендерова // Проблемы физики математики и технологий. - 2016. - Т. 1, № 26. - С. 42-47.
16. Павлов, С.С. Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении / С.С. Павлов // Вестник ЧелГУ. - 2011. - Т. 26. - С. 27-37.
17. Замышляева, А.А. Неклассические уравнения математической физики. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8, № 4. - С. 5-16.
18. Prilepko, A.I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - New York: Marcel Dekker, 2000.