On the Stability of Two-Dimensional Flows Close to the Shear

Рассматривается задача устойчивости двумерных пространственно-периодических течений общего вида, близких к сдвиговым, в предположении, что отношение периодов стремится к нулю, а среднее скорости вдоль 'длинного' , периода отлично от нуля. Найдены первые члены длинноволновой асимптотики. Коэффициенты асимптотических разложений явно выражаются через некоторые вронскианы и интегральные операторы типа Вольтерра, как и в сдвиговом случае. Выявлена структура собственных значений и собственных функций для первых членов асимптотики, произведено сравнение со сдвиговым случаем. Исследованы подклассы рассматриваемого класса течений, в которых обнаруживаются общие свойства качественного поведения собственных значений и собственных функций. Построены графики нейтральных кривых. Численно найдены наиболее опасные возмущения. Приведены траектории движения пассивной примеси во вторичном автоколебательном потоке в линейном приближении.

Ключевые слова

длинноволновая асимптотика; устойчивость двумерных течений вязкой жидкости; кривые нейтральной устойчивости.

Литература

1. Должанский, Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике / Ф.В. Должанский. - М.: ИВМ РАН, 2006.
2. Андреев, В.К. О решении одной обратной задачи, моделирующей двумерное движение вязкой жидкости / В.К. Андреев // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 4. - С. 5-16.
3. Sun-Chul Kim. Unimodal Patterns Appearing in the Two-Dimensional Navier-Stokes Flows under General Forcing at Large Reynolds Numbers / Sun-Chul Kim, Tomoyuki Miyaji, Hisashi Okamoto // Nonlinearity. - 2017. - V. 28, № 9. - P. 234-246.
4. Kalashnik, M. Nonlinear Dynamics of Long-Wave Perturbations of the Kolmogorov Flow for Large Reynolds Numbers / M. Kalashnik, M. Kurgansky // Ocean Dynamics. - 2018. - V. 68. - P. 1001-1012.
5. Мешалкин, Л.Д. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения вязкой жидкости / Л.Д. Мешалкин, Я.Г. Синай // Прикладная математика и механика. - 1961. - Т. 25, № 6. - С. 1140-1143.
6. Юдович, В.И. О неустойчивости параллельных течений вязкой несжимаемой жидкости относительно пространственно-периодических возмущений / В.И. Юдович // Численные методы решения задач математической физики. - М.: Наука, 1966. - С. 242-249.
7. Юдович, В.И. Об автоколебаниях, возникающих при потере устойчивости параллельных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых периодических возмущений / В.И. Юдович // Известия АН СССР. Серия: Механика жидкости и газа. - 1973. - № 1. - С. 32-35.
8. Мелехов, А.П. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических двумерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений / А.П. Мелехов, С.В. Ревина // Известия РАН. Серия: Механика жидкости и газа. - 2008. - № 2. - С. 41-56.
9. Ревина, С.В. Рекуррентные формулы длинноволновой асимптотики задачи устойчивости сдвиговых течений / С.В. Ревина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 5, № 8. - С. 1387-1401.
10. Ревина, С.В. Устойчивость течения Колмогорова и его модификаций / С.В. Ревина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2017. - Т. 57, № 6. - С. 1003-1022.
11. Обухов, А.М. Течение Колмогорова и его лабораторное моделирование / А.М. Обухов // Успехи математических наук. - 1983. - Т. 38, № 4. - С. 101-111.