Решение эллиптических уравнений в полигональных областях методом коллокации и наименьших квадратов

В данной работе рассматривается новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) для численного решения краевых задач для эллиптических уравнений в полигональных областях, в том числе в многосвязных. Возможности этого варианта и численные эксперименты рассмотрены на примерах решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармонического уравнения. В качестве приложения решение неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропной упругой тонкой пластинки полигональной формы, находящейся под действием поперечной нагрузки. Новый вариант метода КНК основан на триангуляции исходной области, чем принципиально отличается от предложенных ранее более сложных вариантов метода КНК решения краевых задач для уравнений с частными производными (УЧП) в нерегулярных областях. Установлено, что приближенные решения рассмотренных задач на последовательности измельчающихся сеток сходятся с повышением порядка и с высокой точностью совпадают с тестовыми решениями.

Ключевые слова

метод коллокации и наименьших квадратов; полигональная многосвязная область; уравнение Пуассона; неоднородное бигармоническое уравнение; напряженно-деформированное состояние.

Литература

1. Guo Chen. A Fast Finite Difference Method for Biharmonic Equations on Irregular Domains and Its Application to an Incompressible Stokes Flow / Guo Chen, Zhilin Li, Ping Lin // Advances in Computational Mathematics. - 2008. - V. 29, № 2. - P. 113-133.
2. Шапеев, В.П. Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В.П. Шапеев, В.А. Беляев // Вычислительные методы и программирование. - 2018. - Т. 19, № 4. - С. 340-355.
3. Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Физматгиз, 1963.
4. Шапеев, В.П. Решение краевых задач для уравнений с частными производными в треугольных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В.П. Шапеев, В.А. Беляев // Вычислительные методы и программирование. - 2018. - Т. 19, № 1. - С. 96-111.
5. Сорокин, С.Б. Переобусловливание при численном решении задачи Дирихле для бигармонического уравнения / С.Б. Сорокин // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2011. - Т. 14, № 2. - С. 205-213.
6. Шапеев, В.П. Варианты метода коллокации и наименьших невязок повышенной точности в области с криволинейной границей / В.П. Шапеев, В.А. Беляев // Вычислительные технологии. - 2016. - Т. 21, № 5. - С. 95-110.
7. Беляев, В.А. Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в трапециевидных областях / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2017. - Т. 22, № 4. - С. 22-42.
8. Беляев, В.А. Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в выпуклых четырехугольных областях / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Моделирование и анализ информационных систем. - 2017. - Т. 24, № 5. - С. 629-648.
9. Беляев, В.А. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом коллокации и наименьших квадратов в области с дискретно заданной границей / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2018. - Т. 23, № 3. - С. 15-30.
10. Федоренко, Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса / Р.П. Федоренко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1964. - Т. 4, № 3. - С. 559-564.
11. Saad, Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems / Y. Saad. - Manchester: Manchester University Press, 1991.
12. Голушко, С.К. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин / С.К. Голушко, С.В. Идимешев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2013. - Т. 18, № 6. - С. 31-43.