Математическая модель управления многоканальной рекламой с эффектом распределенной отдачи

Анализируется динамическая непрерывная относительно времени модель оптимального распределения рекламных расходов на планируемом периоде при использовании фирмой нескольких медиаканалов разного качества и силы влияния на спрос. Учитывается запаздывающая реакция потребителя на рекламу и нерекламные факторы. При этом, в отличие от классических динамических оптимизационных моделей Нерлова - Эрроу, Видаля - Вульфа и их расширений, предлагаемая модель учитывает накопленные за возможно разные промежутки времени эффекты от воздействия рекламы нескольких медиаканалов и предыдущих объемов продаж. В рамках предлагаемой модели формулируется задача оптимального управления рекламными расходами с нелинейным интегральным уравнением типа Вольтерра, порожденного естественными ограничениями рассматриваемой проблемы. Доказывается теорема о существовании решения данного уравнения. Формулируется теорема о существовании решения задачи максимизации прибыли фирмы на плановом периоде при ограничении на поток рекламных затрат и функциональной зависимости, отражающей реакцию целевой аудитории. Также к задаче применяется принцип максимума и находятся необходимые условия построения оптимальной программы.

Ключевые слова

математическое моделирование; рекламная программа; уравнение Вольтерра; оптимальное управление; принцип максимума; существование решения.

Литература

1. Granger, C.W.J. Investigating Causal Relations by Econometric Model and Cross-Spectral Methods / C.W.J. Granger // Econometrica. - 1969. - V. 37, № 3. - P. 424-438.
2. Bensoussan, A. A Generalization of the Nerlove-Arrow Optimality Condition / A. Bensoussan, A. Bultez, P. Naert. - Brussels, European Institute for Advanced Studies in Management, 1973.
3. Pauwels, W. Optimal Dynamic Advertising Policies in the Presence Of Continuously Distributed Time Lags / W. Pauwels // Journal of Optimization Theory and Applications. - 1977. - V. 22, № 1. - P. 79-89.
4. Лутошкин, И.В. Сравнение продаж продукции различных видов в зависимости от рекламных воздействий / И.В. Лутошкин, Е.В. Мартыненко // Известия высших учебных заведений. Серия: Экономика, финансы и управление производством. - 2015. - Т. 3, № 25. - С. 113-121.
5. Nerlove, M. Optimal Advertising Policy Under Dynamic / M. Nerlove, K.J. Arrow // Economica. - 1962. - V. 29, № 114. - P. 129-142.
6. Erickson, G.M. A Differential Game Model of the Marketing-Operations Interface / G.M. Erickson // European Journal of Operational Research. - 2011. - V. 211, № 2. - P. 394-402.
7. Fruchter, G.E. Signaling Quality: Dynamic Price-Advertising Model / G.E. Fruchter // Journal of Optimization Theory and Applications - 2009. - V. 143, № 3. - P. 479-496.
8. Lambertini, L. Advertising in a Dynamic Spatial Monopoly / L. Lambertini // European Journal of Operational Research. - 2005. - V. 166, № 2. - P. 547-556.
9. Giovanni, P.D. Quality Improvement vs. Advertising Support: Which Strategy Works Better for a Manufacturer? / P.D. Giovanni // European Journal of Operational Research. - 2011. - V. 208, № 2. - P. 119-130.
10. Buratto, A. Coordination of Advertising Strategies in a Fashion Licensing Contract / A. Buratto, G. Zaccour // Journal of Optimization Theory and Applications. - 2009. - V. 142, № 1. - P. 31-53.
11. Vidale, M.L. An Operations-Research Study of Sales Response to Advertising / M.L. Vidale, H.B. Wolfe // Operations Research. - 1957. - V. 5, № 3. - P. 370-381.
12. Deal, K.R. Optimizing Advertising Expenditures in a Dynamic Duopoly / K.R. Deal // Operations Research. - 1979. - V. 27, № 4. - P. 682-692.
13. Mukundan, R. Linear Feedback Strategies in Non-Zero-Sum Differential / R. Mukundan, W.B. Elsner // International Journal of System Science. - 1975. - V. 6, № 6. - P. 513-532.
14. Wang, Q. A Duopolistic Model of Dynamic Competitive Advertising / Q. Wang, A. Wu // European Journal of Operational Research. - 2001. - V. 128, № 1. - P. 213-226.
15. Fershtman, C. Goodwill and Market Shares in Oligopoly / C. Fershtman // Economica. - 1984. - V. 51, № 203. - P. 271-281.
16. He, X.L. Retail Competition and Cooperative Advertising / X.L. He, A. Krishnamoorthy, A. Prasad, S.P. Sethi // Operations Research Letters. - 2011. - V. 39, № 1. - P. 11-16.
17. Fershtman, C. Market Share Pioneering Advantage: a Theoretical Approach / C. Fershtman, M. Vijay, M. Eitan // Management Science. - 1990. - V. 36, № 8. - P. 900-918.
18. Kimball, G.E. Some Industrial Applications of Military Operations Research Methods / G.E. Kimball // Operations Research. - 1957. - V. 5, № 2. - P. 201-204.
19. Buratto, A. Advertising Channel Selection in a Segmented Market / A. Buratto, L. Grosset, B. Viscolani // Automatica. - 2006. - V. 42, № 8. - P. 1343-1347.
20. Lutoshkin, I.V. The Dynamic Model of Advertising Costs with Continuously Distributed Lags / I.V. Lutoshkin, N.R. Yamaltdinova // CEUR Workshop Proceedings. - V. 2018. - P. 103-112.
21. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов. - М.: Наука, 1975.
22. Дмитрук, А.В. Необходимые условия слабого минимума в задачах с интегральными уравнениями / А.В. Дмитрук, Н.П. Осмоловский // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. - 2014. - С. 709-713.
23. Lutoshkin, I.V. The Dynamic Model of Advertising Costs / I.V. Lutoshkin, N.R. Yamaltdinova // ECECSR Journal. - 2018. - V. 52, № 1. - P. 201-214.