О конечном спектре трехточечных краевых задач

Статья посвящена решению одной из проблем Джона Локкера, а именно вопросу, может ли краевая задача для дифференциального уравнения иметь конечный спектр. На задачи такого рода можно смотреть и как на обратные задачи определения коэффициентов дифференциального уравнения по заданному спектру. В работе показано, что если дифференциальное уравнение не имеет кратных корней характеристического уравнения, то тогда спектр соответствующей трехточечной краевой задачи не может быть конечным. Доказательство теоремы основано на том, что соответствующий характеристический определитель представляет собой целую функцию класса К, а так же результатах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего, из которых следует, что количество корней характеристического уравнения (если они есть) бесконечно. Если же корни характеристического уравнения являются кратными, то спектр может быть конечным. Более того, существуют краевые задачи с наперед заданным конечным спектром.

Ключевые слова

трехточечная краевая задача; проблема Джона Локкера; конечный спектр; бесконечный или пустой спектр.

Литература

1. Locker, J. Eigenvalues and Completeness for Regular and Simply Irregular Two-Point Differential Operators / J. Locker. - Providence: American Mathematical Society, 2008.
2. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969.
3. Ширяев, Е.А. Регулярные и вполне регулярные дифференциальные операторы / Е.А. Ширяев, А.А. Шкаликов // Математические заметки. - 2007. - Т. 81, № 4. - C. 636-640.
4. Sadovnichii V.A. General Inverse Sturm-Liouville Problem with Symmetric Potential / V.A. Sadovnichii, Ya.T. Sultanaev, A.M. Akhtyamov // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2015. - V. 5, № 2. - P. 96-108.
5. Садовничий, В.А. О связи между спектром дифференциального оператора с симметрическими коэффициентами и краевыми условиями / В.А. Садовничий, Б.Е. Кангужин // Доклады Академии наук СССР. - 1982. - Т. 267, № 2. - С. 310-313.
6. Ахтямов, А.М. О спектре дифференциального оператора нечетного порядка / А.М. Ахтямов // Математические заметки. - 2017. - Т. 101, № 5. - C. 643-646.
7. Lang, P. Spectral theory of Two-Point Differential Operators Determined by $D^2$. Spectral properties / P. Lang, J. Locker // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1989. - V. 146, № 1. - P. 538-558.
8. Кальменов, Т.Ш. Определение структуры спектра регулярных краевых задач для дифференциальных уравнений методом антиаприорных оценок В.А. Ильина / Т.Ш. Кальменов, Д. Сураган // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 423, № 6. - С. 730-732.
9. Ахтямов, А.М. О конечности спектра краевых задач / А.М. Ахтямов // Дифференциальные уравнения. - 2019. - Т. 55, № 1. - С. 138-140.
10. Zhongmin Sun. Positive Solutions of Singular Third-Order Three-Point Boundary Value Problems / Zhongmin Sun // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2005. - V. 306. - P. 589-603.
11. Wong, P.J.Y. Eigenvalues of a General Class of Boundary Value Problem with Derivative-Dependent Nonlinearity / P.J.Y. Wong // Applied Mathematics and Computation. - 2015. - V. 259. - P. 908-930.
12. Zhongmin Sun. Multiple Positive Solutions to Third-Order Three-Point Singular Semipositone Boundary Value Problem / Zhongmin Sun, Suoquan Ren, Zhenlin Wu, Huabin Zhang // International Journal of Engineering and Manufacturing. - 2004. - V. 114. - P. 409-422.
13. Anderson, D. Multiple Solutions and Eigenvalues for Third-Order Right Focal Boundary Value Problems / D. Anderson, J.M. Davis // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2002. - V. 267. - P. 135-157.
14. Hopkins, W. Some Convergent Developments Associated with Irregular Boundary Conditions / W. Hopkins // Transactions of the American Mathematical Society. - 1919. - V. 20. - P. 249-259.
15. Minghe Pei. Solvability of $n$-th Order Lipschitz Equations with Nonlinear Three-Point Boundary Conditions / Minghe Pei, Sung Kag Chang // Boundary Value Problems. - 2014. - V. 1. - P. 183-197.
16. Sansone, G. Sopra una famiglia di cubiche con infiniti punti razionali / G. Sansone // Rendiconti Istituto Lombardo. - 1929. - V. 62, № 2. - P. 354-360. (in Italian)
17. Лидский, В.Б. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций / В.Б. Лидский, В.А. Садовничий // Функциональный анализ и его приложения. - 1967. - Т. 1, № 2. - C. 52-59.
18. Лидский, В.Б. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций / В.Б. Лидский, В.А. Садовничий // Математический сборник. - 1968. - Т. 75, № 4. - C. 558-566.