Решение обратных спектральных задач для дискретных полуограниченных операторов, заданных на геометрических графах

В работах авторов были найдены линейные формулы, позволяющие находить приближенные собственные значения дискретных полуограниченных операторов. Используя их можно находить собственные значения дискретных операторов с любым порядковым номером. При этом снимаются многие вычислительные проблемы, возникающие в классических методах связанные с порядковым номером вычисляемых собственных значений и вопросов корректности производимых операций при их нахождении. Сравнение полученных результатов вычислительных экспериментов показали, что собственные значения, найденные по линейным формулам и методом Галеркина, хорошо согласуются. Причем, по мере увеличения порядкового номера собственных значений отличия уменьшаются. Используя линейные формулы, позволяющие вычислять собственные значений дискретных полуограниченных операторов, в статье изложен метод решения обратных спектральных задачах для операторов Штурма-Лиувилля, заданных на последовательных геометрических графах с конечным числом звеньев. Алгоритм апробирован на последовательном двухреберном графе. Результаты многочисленных экспериментов показали хорошую точность и высокую вычислительную эффективность разработанного метода.

Ключевые слова

собственные значения и собственные функции; дискретные и самосопряженные операторы; обратные спектральные задачи; метод Галеркина; некорректно поставленные задачи; интегральное уравнение Фредгольма первого рода; геометрический граф.

Литература

1. Марченко, В.А. Спектральная теория операторов Штурма - Лиувилля / В.А. Марченко. - Киев: Наукова думка, 1972.
2. Юрко, В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В.А. Юрко. - М.: Физматлит, 2007.
3. Yurko, V.A. Methods of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory / V.A. Yurko. - Utrecht: VSP, 2002.
4. Chadan, K. An Introduction to Inverse Scattering and Inverse Spectral Problems / K. Chadan, D. Colton, L. Hfivarinta, W. Rundell. - Philadelphia: SSSIAM, 1997.
5. Fabiano, R.H. A Finite-Difference Algorithm for an Inverse Sturm - Liouville Problem / R.H. Fabiano, R. Knobel, B.D. Lowe // IMA Journal of Numerical Analysis. - 1995. - V. 15. - P. 75-88.
6. Paine, J.W. On the Sturm - Liouville Problems / J.W. Paine, F. de Hoog, R.S. Anderssen // Computing. - 1981. - V. 26. - P. 123-139.
7. Садовничий, В.А. Замечание об одном методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - Т. 17. - 1994. - С. 244-248.
8. Кадченко, С.И. Метод регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2009. - № 37 (170), вып. 4. - С. 4-23.
9. Кадченко, С.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1265-1273.
10. Кадченко, С.И. Вычисление спектральных характеристик возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов/ С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - М.: РАН, ВИНИТИ. - 2017. - № 141. - С. 59-77.
11. Dubrovskii, V.V. Computation of the First Eigenvalues of a Discrete Operator / V.V. Dubrovskii, S.I. Kadchenko, V.F. Kravchenko, V.A. Sadovnichii // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. - Т. 3, № 2. - С. 4-9.
12. Dubrovskii, V.V. A New Method for Approximate Evaluation of the First Eigenvalues in the Orr-Zommerfeld Eigenvalue Problem / V.V. Dubrovskii, S.I. Kadchenko, V.F. Kravchenko, V.A. Sadovnichii // Doklady Mathematics. - 2001. - Т. 63, № 3. - C. 355-358.
13. Kadchenko, S.I. A Numerical Method for Inverse Spectral Problem / S.I. Kadchenko, G.A. Zakirova // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 3. - С. 116-126.
14. Кадченко, С.И. Численные методы решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник Самарского Университета. Естественно-научная серия. - 2013. - № 6 (107). - С. 23-30.
15. Кадченко, С.И. Решение обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко, Г.А. Закирова, А.И. Кадченко // Математические методы в технике и технологиях. - 2016. - № 9. - С. 8-11.
16. Кадченко, С.И. Алгоритмы решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Актуальные проблемы современной науки, техники и образования. - 2015. - Т. 3. - С. 138-141.
17. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник Самарского университета. Естественно-научная серия. - 2013. - № 9. - С. 5-11.
18. Гончарский, А.В. Численные методы решения обратных задач астрофизики / А.В. Гончарский, А.М. Черепащук, А.Г. Ягола. - М.: Наука, 1978.
19. Тиханов, А.В. Методы решения некорректных задач / А.В. Тиханов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979.
20. Пенкин, В.Л. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / В.Л. Пенкин, В.Л. Пряднев. - М.: Физматгиз, 2004.
21. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск, 2002. - С. 221-225.
22. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Дифференциальные уравнения - 2006. - Т. 12, № 1. - С. 126-131.
23. Баязитова, А.А. Задача Штурма - Лиувилля на геометрическом графе / А.А. Баязитова // Вестник ЮрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 вып. 192. - С. 4-10.