Точные решения в нелинейной модели теплопередачи

Настоящая работа продолжает большой цикл публикаций авторов, посвященных решениям нелинейного уравнения теплопроводности, которые имеют тип тепловой волны, распространяющейся по нулевому фону с конечной скоростью. Изучается проблема построения точных решений искомого типа для нелинейного уравнения теплопроводности с источником (стоком) и определения их свойств. Особенностью подобных решений является то, что на фронте тепловой волны параболический тип уравнения имеет вырождение, из-за чего оно приобретает необычные для параболических уравнений свойства. Рассмотрены два типа решений: простая волна, которая движется с постоянной скоростью и имеет вид уединенной волны (солитона); волна с экспоненциальным законом движения фронта. В обоих случаях построение редуцируется к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка, которые наследуют особенность от исходной задачи. Построены фазовые портреты ОДУ, установлены свойства траекторий, проходящих через особые точки. Также получены разложения искомых решений в степенные ряды, для которых найдены оценки радиуса сходимости.

Ключевые слова

нелинейное уравнение теплопроводности; тепловая волна; точное решение; фазовый портрет; ряд.

Литература

1. Зельдович, Я.Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. - М.: Физматлит, 1966.
2. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972.
3. Murray, J. Mathematical Biology: I. An introduction / J. Murray. - N.Y.: Springer, 2002.
4. Самарский, А.А. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А.А. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П. Михайлов. - М.: Наука, 1987.
5. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1967.
6. Vazquez, J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory / J.L. Vazquez. - Oxford: Clarendon Press, 2007.
7. Сидоров, А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика / А.Ф. Сидоров. - М.: Физматлит, 2001.
8. Зельдович, Я.Б. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры / Я.Б. Зельдович, А.С. Компанеец // Сборник, посвященный 70-летию А.Ф. Иоффе. - М.: Изд-во АН СССР, 1950. - С. 61-71.
9. Баренблатт, Г.И. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, И.М. Вишик // Прикладная математика и механика. - 1956. - Т. 20, вып. 3. - С. 411-417.
10. Filimonov, M. Application of Method of Special Series for Solution of Nonlinear Partial Differential Equations / M. Filimonov // AIP Conference Proceedings. - 2014. - V. 40. - P. 218-223.
11. Antontsev, S.N. Evolution PDEs with Nonstandard Growth Conditions. Existence, Uniqueness, Localization, Blow-Up / S.N. Antontsev, S.I. Shmarev. - Paris: Atlantis Press, 2015.
12. Полянин, А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев. - М: Физматлит, 2002.
13. Кудряшов, Н.А. Аналитические решения нелинейного уравнения конвекции-диффузии с нелинейными источниками / Н.А. Кудряшов, Д.И. Синельщиков // Моделирование и анализ информационных систем. - 2016. - Т. 23, № 3. - С. 309-316.
14. Косов, А.А. О точных решениях уравнения нелинейной диффузии / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Сибирский математический журнал. - 2019. - Т. 60, № 1. - С. 123-140.
15. Казаков, А.Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности / А.Л. Казаков // Сибирские электронные математические известия. - 2019. - Т. 16. - С. 1057-1068.
16. Куpант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. - М.: Миp, 1964.
17. Казаков, А.Л. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации / А.Л. Казаков, Л.Ф. Спевак // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. - 2012. - Т. 5, № 2. - С. 2-17.
18. Казаков, А.Л. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах / А.Л. Казаков, П.А. Кузнецов, Л.Ф. Спевак // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2014. - Т. 20, № 1. - С. 119-129.
19. Казаков, А.Л. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением / А.Л. Казаков, А.А. Лемперт // Вычислительные технологии. - 2012. - Т. 17, № 1. - С. 57-68.
20. Казаков, А.Л. О некоторых точных решениях нелинейного уравнения теплопроводности / А.Л. Казаков, С.С. Орлов // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22, № 1. - C. 112-123.
21. Казаков, А.Л. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности / А.Л. Казаков, С.С. Орлов, С.С. Орлов // Сибирский математический журнал. - 2018. - Т. 59, № 3. - С. 544-560.
22. Казаков, А.Л. Построение и исследование точных решений со свободной границей нелинейного уравнения теплопроводности с источником / А.Л. Казаков // Математические труды. - 2019. - Т. 22, № 2. - С. 54-75.
23. Баутин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. - М.: Наука, 1990.
24. Kazakov, A.L. On a Heat Wave for the Nonlinear Heat Equation: An Existence Theorem and Exact Solution / A.L. Kazakov, P.A. Kuznetsov, A.A. Lempert // Continuum Mechanics, Applied Mathematics and Scientific Computing: Godunov's Legacy. - Cham: Springer, 2020. - P. 223-228.
25. Sidorov, N.A. Small Solutions of Nonlinear Differential Equations Near Branching Points / N.A. Sidorov, D.N. Sidorov // Russian Mathematics. - 2011. - V. 55, № 5. - P. 43-50.