Анизотропные решения нелинейной кинетической модели эллиптического типа

Рассматривается нелинейная кинетическая модель, описываемая системой двух уравнений эллиптического типа с экспоненциальными нелинейностями. Предлагается строить точные решения указанной математической модели в классе логарифмов от квадратичных функций пространственных переменных. Коэффициенты решений модели находятся из систем квадратных матричных и линейных векторных уравнений. Предложенный подход применяется, в частности, для построения анизотропных решений уравнения Лиувилля, часто используемого в качестве математической модели стационарных распределений в физике плазмы. Приводится ряд примеров, иллюстрирующих полученные результаты.

Ключевые слова

кинетическая модель; нелинейная эллиптическая система; уравнение Лиувилля; матричные уравнения; точные решения.

Литература

1. Markov, Y. Steady State Solutions of the Vlasov-Maxwell System and Their Stability / Y. Markov, G. Rudykh, N. Sidorov, A. Sinitsyn, D. Tolstonogov // Acta Applicandae Mathematica. - 1992. - V. 28, № 3. - P. 253-293.
2. Сидоров, Н.А. Стационарная система Власова - Максвелла в ограниченных областях / Н.А. Сидоров, А.В. Синицын // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. - М.: Физматлит, 2003. - P. 50-88.
3. Sidorov, N. Toward General Theory of Differential Operator and Kinetic Models / N. Sidorov, D. Sidorov, A. Sinitsyn. - Singapore: World Scientific, 2020.
4. Журавлев, В.М. Диффузионные цепочки Тоды в моделях нелинейных волн в активных средах / В.М. Журавлев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1998. - Т. 114, вып. 5. - С. 1897-1914.
5. Журавлев, В.М. Об одном классе моделей автоволн в активных средах с диффузией, допускающих точные решения / В.М. Журавлев // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1997. - Т. 65, вып. 3. - С. 285-290.
6. Polyanin, A.D. Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering / A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, D.A. Kazenin - London; N.Y.: Taylor and Francis, 2002.
7. Капцов, О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными / О.В Капцов. - М.: Физматлит, 2009.
8. Шмидт, А.В. Точные решения систем уравнений типа реакция-диффузия / А.В. Шмидт // Вычислительные технологии.- 1998. - Т. 3, № 4. - С. 87-94.
9. Cherniha R., King J.R. Non-Linear Reaction-Diffusion Systems with Variable Diffusivities: Lie Symmetries, Ansatze and Exact Solutions / R. Cherniha, J.R. King. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2005. - V. 308. - P. 11-35.
10. Косов, А.А. O точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции-диффузии / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференциальные уравнения. - 2018. - Т. 54, № 1. - С. 108-122.
11. Полянин, А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев - М.: Физматлит, 2002.
12. Полянин, А.Д. Нелинейные уравнения математической физики. Ч. 1 / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев - М.: Физматлит, 2017.
13. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Ч. 2 / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев - М.: Физматлит, 2017.
14. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1988.