Numerical Analysis of Fractional Order Integral Dynamical Models with Piecewise Continuous Kernels

Интегральные уравнения Вольтерра находят свое применение во многих областях, включая математическую физику, теорию управления, механику, электротехнику, и в различных отраслях промышленности. В частности, динамические модели Вольтерра с разрывными ядрами эффективно используются в энергетике для определения режимов работы накопителей энергии, а также для решения задачи выравнивания нагрузки. В статье предлагается численный метод решения линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода дробного порядка интегрирования с кусочно-непрерывными ядрами. Разработанный подход основан на методе полиномиальной коллокации и эффективно аппроксимирует такие слабо сингулярные интегралы. Эффективность предложенного численного метода иллюстрируется на двух примерах.

Ключевые слова

интегральные уравнения Вольтерра; численный метод; сходимость; сингулярность; дробный интеграл.

Литература

1. Linz P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations / P. Linz // SIAM, Philadelphia, PA. - 1985. DOI: 10.1137/1.9781611970852
2. Sidorov D. Volterra Equations of the First Kind with Discontinuous Kernels in the Theory of Evolving Systems Control / D. Sidorov // Studia Informatica Universalis. - 2011, - Vol. 9, No. 3, - P. 135-146 arXiv: arxiv.org/abs/1111.5903v1
3. Sidorov D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control / D. Sidorov // Ed. by L. O. Chua. Singapore, London: World Scientific Publ. - 2015, - Vol. 87 of World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A, - 243 p. DOI: 10.1142/9278
4. Atangana A. The Numerical Solution of the Volterra Fractional Integral Equations of the Second Kind / A. Atangana, N. Bildik // Math Probl Eng. - 2013, - No. 981526, - 11 p., DOI: 10.1155/2013/981526
5. Baleanu D. Fractional Calculus Models and Numerical Methods (Second Edition) / D. Baleanu, K. Diethelm, E. Scalas, J. J. Trujillo // Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos, World Scientific Publishing, Singapore. - 2016, - Vol. 5, - 476 p. DOI: 10.1142/10044
6. Samko S.G. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications / S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev // Gordon and Breach, Yveron. - 1993, - 1012 p.
7. Diethelm K. Analysis of Fractional Differential Equations / K. Diethelm, N.J. Ford // J. Math. Anal. Appl. - 2002. - Vol. 265. - P. 229-248. DOI: 10.1006/jmaa.2000.7194
8. Diethelm K. The Frac PECE Subroutine for the Numerical Solution of Differential Equations of Fractional Order / K. Diethelm, A. D. Freed // In "Forschung und Wissenschaftliches Rechnen" (S. Heinzel, T. Plesser). - 1998, - P. 57-71.
9. Diethelm K. An Algorithm for the Numerical Solution of Differential Equations of Fractional Order / K. Diethelm // Elec. Transact. Numer. Anal. - 1997, - Vol. 5, - P. 1-6.
10. Sidorov D.N. On Parametric Families of Solutions of Volterra Integral Equations of the First Kind with Piecewise Smooth Kernel / D.N. Sidorov // Differential Equations. - 2013, - Vol. 49, no 2, - P. 210-216. DOI: 10.1134/S0012266113020079
11. Sidorov D.N. Solvability of Systems of Volterra Integral Equations of the First Kind with Piecewise Continuous Kernels / D.N. Sidorov // Russ. Math. - 2013, - Vol. 57, - P. 54-63. DOI: 10.3103/S1066369X13010064
12. Sidorov N.A. On the Solvability of a Class of Volterra Operator Equations of the First Kind with Piecewise Continuous Kernels / N.A. Sidorov, D.N. Sidorov // Math. Notes. - 2014, - Vol. 96, - P. 811-826. DOI: 10.1134/S0001434614110170
13. Muftahov I. Numeric Solution of Volterra Integral Equations of the First Kind with Discontinuous Kernels / I. Muftahov, A. Tynda, D. Sidorov // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2017, - Vol. 313, - P. 119-128. DOI: 10.1016/j.cam.2016.09.003
14. Sidorov D. Nonlinear Systems of Volterra Equations with Piecewise Smooth Kernels: Numerical Solution and Application for Power Systems Operation / D. Sidorov, A. Tynda, I. Muftahov, A. Dreglea, F. Liu // Mathematics. - 2020, - Vol. 8, No. 8, - P. 1257. DOI: 10.3390/math8081257
15. Sidorov D. A Dynamic Analysis of Energy Storage with Renewable and Diesel Generation Using Volterra Equations / D. Sidorov, I. Muftahov, N. Tomin, D. Karamov, D. Panasetsky, A. Dreglea, F. Liu // IEEE Transactions on Industrial Informatics. - 2020, - Vol. 16, issue 5, No. 8784402, - P. 3451-3459. DOI: 10.1109/TII.2019.2932453
16. Sidorov D. Toward Zero-emission Hybrid AC/DC Power Systems with Renewable Energy Sources and Storages: A Case Study from Lake Baikal Region / D. Sidorov, D. Panasetsky, N. Tomin, D. Karamov, A. Zhukov, I. Muftahov, A. Dreglea, F. Liu, Y. Li // Energies. - 2020, - Vol. 13, No. 5, - P. 1226. DOI: 10.3390/en13051226
17. Sidorov N. Toward General Theory of Differential-Operator and Kinetic Models / N. Sidorov, D. Sidorov, A. Sinitsyn // Ed. by L. O. Chua. Singapore, London: World Scientific Publ. - 2020, - Vol. 97 of World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A, - 400 p. DOI: 10.1142/11651
18. Sizikov V.Generalized Quadrature for Solving Singular Integral Equations of Abel Type in Application to Infrared Tomography / V. Sizikov, D. Sidorov // Applied Numerical Mathematics. - 2016, - Vol. 106, - P. 69-78. DOI: 10.1016/j.apnum.2016.03.004
19. Brunner H. The Piecewise Polynomial Collocation Method for Nonlinear Weakly Singular Volterra Equation / H. Brunner, A. Pedas, G. Vainikko // Math. Comp. - 1999, - Vol.68, No. 227, - P. 1079-1095. DOI: 10.1090/S0025-5718-99-01073-X