Стохастическое моделирование замкнутых кривых на плоскости

Наиболее универсальный метод имитационного моделирования - стохастическое моделирование. Первоначально Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде. После начала использования компьютеров произошeл большой прорыв, и этот метод стал применяться в самых разных задачах, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. В данной работе изучается форма случайного выпуклого овала на плоскости и более общая задача форма случайной замкнутой кривой на плоскости, исследуется изопериметрическое отношение - отношение квадрата длины кривой к площади ограниченной кривой. Величина этого отношения в силу изопериметрического неравенства ограниченна и характеризует отклонение кривой от окружности. Определяется конечномерное многообразие замкнутых регулярных кривых на плоскости и его бесконечномерный аналог. Изучается вероятностные распределения изопериметрического отношения на них. Основной результат состоит в установлении аналитического закона вероятностного распределения отношения - как распределения Фреше являющиеся частным случаем обобщенного распределения экстремальных значений. Основным используемым методом является разложение Фурье опорной функции множества на плоскости и применение математических пакетов Mathematica и Matlab при стохастическом моделировании.

Ключевые слова

изопериметрическое отношения; распределения экстремальных значений.

Литература

1. Сантало, Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности / Л. Сантало. - М.: Наука, 1983.
2. Marckert, J.F. Compact Convex Sets of the Plane and Probability Theory / J.F. Marckert, D. Renault // ESAIM: Probability and Statistics. - 2014. - V. 18. - P. 854-880.
3. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2 / А. Зигмунд. - М.: Мир, 1965.
4. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари. - М.: Физматлит, 1961.
5. Бесов, О.В. Тригономерические ряды Фурье / О.В. Бесов. - М.: МФТИ, 2004.
6. Залгаллер, В.А. Теория огибающих / В.А. Залгаллер. - М.: Наука, 1975.
7. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сеге. - М.: Физматлит, 1962.
8. Арнольд, В.И. Математика: границы и перспективы. - М.: ФАЗИС, 2005.