On a Limit Pass From Two-Point to One-Point Interaction in a One Dimensional Quantum Mechanical Problem Giving Rise to a Spontaneous Symmetry Breaking

Исследуется спонтанное нарушение симметрии в одномерной квантовомеханичесой проблеме c сингуляным потенциалам, содержащим сдвинутые дельта-функции и их производные. С математической точки зрения при этом используется метод самосопряжeнных расширений симметрического дифференциального оператора, заданного на гладких функциях с интегрируемым квадратом модуля, обнуляющихся вместе со своей первой производной в двух внутренних точках вещественной прямой. Как хорошо известно, последний подход приводит к двухточечной краевой задаче с внутренней границей. Мы находим резольвенту для таких расширений и оцениваем еe поведение при изменении положения указанных точек. Область определения подобных расширений может содержать функции, терпящие разрыв и/или имеющие разрывную производную в точках, указанных выше, последнее обычно интерпретируется как присутствие взаимозависимых (сцепленных) сингулярным потенциалов (таких, как сдвиг \delta-функции Дирака и еe первая производная), сосредоточенных в тех же точках Наша цель - найти связанные состояния с нарушенной симметрией. Для частного случая взаимозависимых граничных условий мы доказываем существование связанного состояния, приводящего к спонтанному нарушению симметрии. Показано, что в терминах пространства Понтрягина возможно сохранения таких состояний в предельном случае, когда расстояние между указанными выше точками обнуляется. Этот результат затем переформулируется в терминах расширенного гильбертова пространства.

Ключевые слова

самосопряженные расширения симметрического дифференциального оператора; резольвента; решение волнового уравнения: связанные состояния; спонтанное нарушение симметрии; пространства Понтрягина.

Литература

1. Restuccia A., Sotomayor A., Strauss V. Non-Local Interactions in Quantum Mechanics Modelled by Shifted Dirac Delta Functions. Journal of Physics: Conference Series, 2016, no. 1043, 9 p.
2. Restuccia A., Sotomayor A., Strauss V. On a Model of Spontaneous Symmetry Breaking in Quantum Mechanics. Bulletin of South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2020, vol. 13, no. 3, pp. 5-16. DOI: 10.14529/mmp200301
3. Burrau O. Berechnung des Energiewertes des Wasserstoffmolekel-Ions (H^2_+) im Normalzustand. Naturwissenschaften, 1927, vol. 15, no. 1, pp. 16-17. DOI: 10.1007/BF01504875
4. Kronig R. de L., Penney W.G. Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices. Proceedings of the Royal Society, 1931, vol. 130A, pp. 499-513. DOI 10.1098/rspa.1931.0019
5. Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Kron R., Holden H. Solvable Models in Quantum Mechanics. White River Junction: Chelsea Publishing, 2004.
6. Kurasov P. Distribution Theory for Discontinuous Test Functions and Differential Operators with Generalized Coefficients. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, no. 201, pp. 297-323.
7. Zurek W.H. Decoherence, Einselection, and the Quantum Origins of the Classical. Reviews of Modern Physics, 2003, vol. 75, no. 3, pp. 715-776. DOI: 10.1103/RevModPhys.75.715
8. Weinberg S. Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge, Cambridge University Press, 2012.
9. Mal'cev A.I. Foundations of Linear Algebra. Freeman and Company, San Francisco, 1963.
10. Kurasov P., Luger A. Reflectionless Potentials and Point Interactions in Pontryagin Spaces. Letters in Mathematical Physics, 2005, vol. 73, pp. 109-122. DOI: 10.1007/s11005-005-0002-1
11. Yariv, A. An Introduction Theory to Theory and Applications of Quantum Mechanics, New York, Wiley and Sons, 1982.
12. Azizov T.Ya., Iokhvidov I.S. Linear Operators in Spaces with Indefinite Metric, New York, Wiley and Sons, 1989.