Algorithm for Numerical Solution of Inverse Spectral Problems Generated by Sturm - Liouville Operators of an Arbitrary Even Order

Статья посвящена построению алгоритмов решения обратных спектральных задач, порожденных дифференциальными операторами Штурма – Лиувилля произвольного четного порядка. Целью решения обратных спектральных задач является восстановление операторов по их спектральным характеристикам и спектральным характеристикам вспомогательных задач. В научной литературе примеров численного решения обратных спектральных задач для оператора Штурма-Лиувилля выше второго порядка, мы не встречали, хотя их решение вызвано необходимостью построения математических моделей многих процессов возникающих в науке и технике. Поэтому разработка вычислительно эффективных алгоритмов численного решения обратных спектральных задач, порожденных операторами Штурма – Лиувилля произвольного четного порядка, представляет большой научный интерес.
В статье, используя линейные формулы, полученные ранее, для нахождения собственных значений дискретных полуограниченных операторов, разработаны алгоритмы решения обратных спектральных задач для операторов Штурма – Лиувилля произвольного четного порядка.
Результаты проведенных вычислительных экспериментов показали, что используя разработанные в статье алгоритмы можно восстанавливать значения потенциалов в операторах Штурма – Лиувилля любого необходимого четного порядка.

Ключевые слова

собственные значения и собственные функции; дискретные, самосопряженные и полуограниченные операторы; метод Галеркина; некорректно поставленные задачи; интегральные уравнения Фредгольма первого рода; асимптотические формулы.

Литература

1. Садовничий, В.А. Замечания об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Труды семинара имени И.Г. Петровского. - 1994. - Вып. 17. - С. 244-248.
2. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27 (286). - С. 45-57.
3. Kadchenko S.I. A Numerical for Inverse Spectral Problem / S.I. Kadchenko, G.A. Zakirova // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 3. - С. 116-126.
4. Кадченко, С.И. Вычисление собственных значений с большими номерами спектральных задач модифицированным методом Галеркина / С.И. Кадченко, Г.А. Закирова, Л.С. Рязанова, О.А. Торшина // Актуальные проблемы современной науки, техники и образования. - 2019. - Т. 10, № 1. - С. 148-152.
5. Дубровский, В.В. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда с помощью теории регуляризованных следов / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1997. - Т. 2, № 6. - С. 13-19.
6. Закирова, Г.А. Дискретные полуограниченные операторы и метод Галеркина / Г.А. Закирова, С.И. Кадченко, А.И. Кадченко, Л.С. Рязанова // Математическое моделирование процессов и систем. Материалы V Всеросийской конференции, приуроченной 110-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова. - Стерлитамак, 2016. - С. 266-272.
7. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 4. - С. 15-25.
8. Бехири, С.Э. Асимптотическая формула для собственных значений регулярного двухчленного дифференциального оператора произвольного четного порядка / С.Э. Бехири, А.Р. Казарян, И.Г. Хачатрян // Ученные записки Ереванского государственного университета. Естественные науки. - 1994. - № 1. - С. 3-18.
9. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1960.
10. Михайлов, В.П. О базисах Рисса в L^2(0,1) / В.П. Михайлов // Доклады Академии наук. - 1962. - Т. 144, № 5. - C. 981-984.
11. Кесельман, Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальным операторов / Г.М. Кесельман // Известия Вузов СССР. Математика. - 1964 - № 2 (39). - C. 82-93.
12. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихoнов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979.
13. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А.Н. Тихoнов // Доклады Академии наук. - 1963. - Т. 153, № 1. - C. 49-52.
14. Тихонов, А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения / А.Н. Тихoнов // Доклады Академии наук. - 1965. - Т. 163, № 6. - С. 591-595.
15. Голиков, А.И. Регуляризация и нормальные решения систем линейных уравнений и неравенств / А.И. Голиков, Ю.Г. Евтушенко // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2014. - Т. 20, № 2. - С. 113-121.
16. Чечкин, А.В. Специальный регулятор А.Н. Тихонова для интегральных уравнений 1 рода / А.В. Чечкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1970. - Т. 10, № 2. - С. 453-461.