The Problem of Identifying the Trajectory of a Mobile Point Source in the Convective Transport Equation

Рассматривается задача идентификации траектории подвижного точечного источника, описываемого дельта функцией, в одномерном линейном уравнении конвективного переноса по заданному дополнительному граничному условию. Для решения рассматриваемой задачи сначала дельта функция аппроксимируется непрерывной функцией и строится дискретный аналог задачи с помощью конечно-разностных аппроксимаций в виде неявной разностной схемы. Для решения полученной разностной задачи предлагается специальное представление, позволяющее на каждом дискретном значении временной переменной расщепить задачу на две взаимно независимые линейные разностные задачи первого порядка. В результате получена явная формула для определения положения подвижного точечного источника при каждом дискретном значении временной переменной. На основе предложенного вычислительного алгоритма были проведены численные эксперименты для модельных задач.

Ключевые слова

уравнение конвективного переноса; подвижный точечный источник; задача идентификации; закон движения источника; аппроксимация дельта функции.

Литература

1. Anderson D., Tannehill K., Pletcher R. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer. New York, Taylor and Francis, 1984.
2. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York, John Wiley and Sons, 1974.
3. Roache P.J. Computational Fluid Dynamics. Albuquerque, Hermosa Publishers, 1976.
4. Samarskii А.А. The Theory of Difference Schemes. New York, Marcel Dekker, 2001.
5. Bugai D.A. Locally One Dimensional Difference Scheme for the Convective Diffusion Equation. Journal of Mathematical Sciences, 1999, vol. 72, no. 2, pp. 3021-3024. DOI: 10.1007/BF01252187
6. Alifanov O.M., Artioukhine E.A., Rumyantsev S.V. Extreme Methods for Solving Ill-Posed Problems with Applications to Inverse Heat Transfer Problems. New York, Begell House, 1995.
7. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Berlin, Walter de Gruyter, 2008.
8. Sara Zahedi. Delta Function Approximations in Level Set Methods by Distance Function Extension. Journal of Computational Physics, 2010, vol. 229, no. 6, pp. 2199-2219. DOI: 10.1016/j.jcp.2009.11.030
9. Vabishchevich P.N. Computational Algorithms for Solving the Coefficient Inverse Problem for Parabolic Equations. Inverse Problems in Science and Engineering, 2016, vol. 24, no. 1, pp. 42-59. DOI: 10.1080/17415977.2014.993984
10. Gamzaev Kh.M. А Numerical Method to Solve Identification Problem for the Lower Coefficient and the Source in the Convection-Reaction Equation. Cybernetics and Systems Analysis, 2018, vol. 54, no. 6, pp. 971-976.
11. Gamzaev Kh.M. On One Inverse Problem of Phase Transformation in Solids. Technical Physics, 2018, vol. 63, no. 8, pp. 1087-1091.