Application of the Smooth Approximation of the Probability Function in Some Applied Stochastic Programming Problems

В статье описано применение гладкой аппроксимации функции вероятности в трех прикладных задачах стохастического программирования: задаче минимизации площади взлетно-посадочной полосы при ограничении на вероятность успешной посадки, задаче минимизации стоимости системы обеспечения пресной водой в условиях случайной производительности и заданного потребления воды, а также задаче определения множества допустимых скоростей ветра, при которых с заданной вероятностью можно обеспечить безопасную посадку самолета по прошествии времени полета. Первые две задачи являются задачами оптимизации с вероятностным ограничением, третья задача сводится к задаче определения поверхности уровня функции вероятности. Гладкая аппроксимация функции вероятности позволяет использовать метод проекции градиента в задачах условной оптимизации, а также позволяет свести задачу построения линии уровня функции вероятности к решению уравнения в частных производных. Все задачи сопровождаются расчетными примерами. Полученные результаты сравниваются с решениями, полученными ранее с помощью доверительного метода.

Ключевые слова

стохастическое программирование; функция вероятности; сигмоидальная функция; метод проекции градиента.

Литература

1. Кибзун, А.И. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями / А.И. Кибзун, Ю.С. Кан - М.: Физматлит, 2009.
2. Кибзун, А.И. Стохастический квазиградиентный алгоритм минимизации функции квантили / А.И. Кибзун, Е.Л. Матвеев // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 6. - С. 64–-78.
3. Иванов, С.В. О сходимости выборочных аппроксимаций задач стохастического программирования с вероятностными критериями / С.В. Иванов, А.И. Кибзун // Автоматика и телемеханика. - 2018. - № 2. - С. 19-35.
4. Иванов, С.В. Исследование задачи стохастического линейного программирования с квантильным критерием / С.В. Иванов, А.В. Наумов // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 2. - С. 142-158.
5. Иванов, С.В. Алгоритм оптимизации квантильного критерия для полиэдральной функции потерь и дискретного распределения случайных параметров / С.В. Иванов, А.В. Наумов // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 116-129.
6. Кибзун, А.И. О сведении задачи квантильной оптимизации с дискретным распределением к задаче смешанного целочисленного программирования / А.И. Кибзун, А.В. Наумов, В.И. Норкин // Автоматика и телемеханика. - 2013. - № 6. - С. 66-86.
7. Кибзун, А.И. Сведение двухшаговой задачи стохастического оптимального управления с билинейной моделью к задаче смешанного целочисленного линейного программирования / А.И. Кибзун, А.Н. Игнатов // Автоматика и телемеханика. - 2016. - № 12. - С. 89-111.
8. Raik, E. The Differentiability in the Parameter of the Probability Function and Optimization of the Probability Function Via the Stochastic Pseudogradient Method / E. Raik // Proceedings of Academy of Sciences of the Estonian SSR. Physics. Mathematics. - 1975. - V. 24, № 1. - P. 3-9.
9. Кибзун, А.И. О гладкости критериальной функции в задаче квантильной оптимизации / А.И. Кибзун, Г.Л. Третьяков // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 9. - С. 69-80.
10. Marti, K. Differentiation Formulas for Probability Functions: the Transformation Method / K. Marti // Mathematical Programming. - 1996. - V. 75. - P. 201-220.
11. Uryas’ev, S. Derivatives of Probability Functions and Some Applications / S. Uryas’ev // Annals of Operations Research. - 1995. - V. 56. - P. 287-311.
12. Henrion, R. Gradient Estimates for Gaussian Distribution Functions: Application to Probabilistically Constrained Optimization Problems / R. Henrion // Numerical Algebra, Control and Optimization. - 2012. - V. 2, № 4. - P. 655-668.
13. Pflug, G. Probability Gradient Estimation by Set-Valued Calculus and Applications in Network Design / G. Pflug, H. Weisshaupt // SIAM Journal on Optimization. - 2005. - V. 15, № 3. - P. 898-914.
14. Garniera, J. Asymptotic Formulas for the Derivatives of Probability Functions and their Monte Carlo Estimations / J. Garniera, A. Omraneb, Y. Rouchdyc // European Journal of Operational Research. - 2009. - V. 198, № 3. - P. 848-858.
15. Соболь, В.Р. О гладкой аппроксимации вероятностных критериев в задачах стохастического программирования / В.Р. Соболь, Р.О. Торишный // Труды СПИИРАН. - 2020. - Т. 19, № 1. - С. 180-217.
16. Кибзун, А.И. Построение доверительного множества поглощения в задачах анализа статических стохастических систем / А.И. Кибзун, С.В. Иванов, А.С. Степанова // Автоматика и телемеханика. - 2020. - № 4. - C. 21-36.