Non-Uniqueness of Solutions to Boundary Value Problems with Wentzell Condition

В последнее время в математической литературе краевое условие Вентцеля рассматривается с двух точек зрения. В первом случае, назовем его классическим, это условие представляет собой уравнение, содержащее линейную комбинацию значений функции и ее производных на границе области. Причем сама функция удовлетворяет еще уравнению с эллиптическим оператором, заданным в области. Во втором, неоклассическом случае условие Вентцеля представляет собой уравнение с оператором Лапласа - Бельтрами, заданным на границе области, понимаемой как гладкое компактное риманово многообразие без края, причем внешнее воздействие представлено нормальной производной функции, заданной в области. В заметке показана неединственность решений краевых задач с условием Вентцеля в неоклассическом смысле как для уравнения с лапласианом, так и для уравнения с билапласианом, заданными в области.

Ключевые слова

условие Вентцеля.

Литература

1. Вентцель, А.Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов / А.Д. Вентцель // Теория вероятней и ее применения. - 1959. - Т. 4, № 2. - С. 172-185.
2. Luo, Y. Linear Second Order Elliptic Equations with Venttsel Boundary Conditions / Y. Luo, N.S. Trudinger // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Section A: Mathematics. - 1991. - V. 118, № 3-4. - P. 193-207.
3. Апушинская, Д.Е. Начально-краевая задача с граничным условием Вентцеля для недивергентных параболических уравнений / Д.Е. Апушинская, А.И. Назаров // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 6. - С. 1-29.
4. Лукьянов, В.В. Решение задачи Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов / В.В. Лукьянов, А.И. Назаров // Записки научных семинаров Cанкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН. - 1998. - № 250. - С. 203-218.
5. Favini, A. C_0-Semigroups Generated by Second Order Differential Operators with General Wentzell Boundary Conditions / A. Favini, G.R. Goldstein, J.A. Goldstein, S. Romanelli // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2000. - V. 128, № 7. - P. 1981-1989.
6. Favini, A. The Heat Equation with Generalized Wentzell Boundary Condition / A. Favini, G.R. Goldstein, J.A. Goldstein, S. Romanelli // Journal of Evolution Equations. - 2002. - V. 2, № 1. - P. 1-19.
7. Goldstein, G.R. Derivation and Physimathcal Interpretation of General Boundary Conditions / G.R. Goldstein // Advances in Differential Equations. - 2006. - V. 4, № 11. - P. 419-456.
8. Denk, R. The Bi-Laplacian with Wentzell Boundary Conditions on Lipschitz Domains / R. Denk, M. Kunze, D. Ploss // Integral Equations and Operator Theory. - 2021. - V. 93, № 2. - P. 13.
9. Triebel, H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential operators / H. Triebel. - Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften : Berlin, 1978.
10. Warner, F.W. Foundations of Differentiable Manifold and Lie Groups / F.W. Warner. - New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer, 1983.
11. Гончаров, Н.С. Задачи Шоуолтера - Сидорова и Коши для линейного уравнения Дзекцера с краевыми условиями Вентцеля и Робена в ограниченной области / Н. С. Гончаров, С. А. Загребина, Г. А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2022. (в печати)