Numerical Method for Solving the Inverse Problem of Non-Stationary Flow of Viscoelastic Fluid in the Pipe

Рассматривается процесс нестационарного течения несжимаемой вязкоупругой жидкости в цилиндрической трубе постоянного сечения. Для описания реологических свойств вязкоупругой жидкости используется модель Кельвина - Фойгта и математическая модель данного процесса представляется в виде интегро-дифференциального уравнения в частных производных. В рамках данной модели поставлена задача определения перепада давления по длине трубы, обеспечивающего пропуск заданного расхода вязкоупругой жидкости по трубе. Поставленная задача относится к классу обратных задач, связанных с восстановлением правых частей интегро-дифференциальных уравнений. Путем замены переменных интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных. Сначала строится дискретный аналог задачи с использованием конечно-разностных аппроксимаций. Для решения полученной разностной задачи предлагается специальное представление, позволяющее расщепить задачи на две взаимно независимых разностные задачи второго порядка. В результате получена явная формула для определения приближенного значения перепада давления по длине трубопровода при каждом дискретном значении временной переменной. На основе предложенного вычислительного алгоритма были проведены численные эксперименты для модельных задач.

Ключевые слова

вязкоупругая жидкость; модель Кельвина - Фойгта; интегро-дифференциальное уравнение; перепад давления по длине трубы; обратная задача.

Литература

1. Wilkinson W.L. Non-Newtonian Fluids: Fluid Mechanics. Mixing and Heat Transfer. New York, Pergamon Press, 1960.
2. Astarita G., Marrucci G. Principles of Non-Newtonian Fluid Mechanics. London, New York, McGraw-Hill, 1974.
3. Joseph D.D. Fluid Dynamics of Viscoelastic Liquids. New York, Springer, 1990.
4. Huilgol R. R., Phan-Thien N. Fluid Mechanics of Viscoelasticity: General Principles, Constitutive Modelling, Analytical and Numerical Techniques. Amsterdam, Elsevier, 1997.
5. Crochet M.J., Davies A.R., Walters K. Numerical Simulation of Non-Newtonian Flow. Amsterdam, Elsevier, 2012.
6. Aristov S.N., Skul'skii O.I. Exact Solution of the Problem of Flow of a Polymer Solution in a Plane Channel. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2003, vol. 76, no. 3, pp. 577-585. DOI: 10.1023/A:1024768930375
7. Carrozza M.A., Hulsen M.A., H"utter M., Anderson P. D. Viscoelastic Fluid Flow Simulation Using the Contravariant Deformation Formulation. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2019, vol. 270, pp. 23-35. DOI: 10.1016/j.jnnfm.2019.07.001
8. Gamzaev Kh.M. Numerical Method of Pipeline Hydraulics Identification at Turbulent Flow of Viscous Liquids. Pipeline Science and Technology, 2019, vol. 3, no. 2, pp. 118-124. DOI: 10.28999/2514-541X-2019-3-2-118-124
9. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Berlin, De Gruyter, 2007.
10. Vabishchevich P.N., Vasil'ev V.I., Vasil'eva M.V. Computational Identification of the Right-Hand Side of a Parabolic Equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, no. 6, pp. 1015-1021. DOI: 10.1134/S0965542515030185
11. Deng Z.C., Qian K., Rao X.B., Yang L., Luo G.W. An Inverse Problem of Identifying the Source Coefficient in a Degenerate Heat Equation. Inverse Problems in Science and Engineering, 2015, vol. 23, no. 3, pp. 498-517. DOI: 10.1080/17415977.2014.922079
12. Borukhov V.T., Zayats G.M. Identification of a Time-Dependent Source Term in Nonlinear Hyperbolic or Parabolic Heat Equation. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2015, vol. 91, pp. 1106-1113. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2015.07.06
13. Ashyralyev A., Erdogan A.S., Demirdag O. On the Determination of the Right-Hand Side in a Parabolic Equation. Applied Numerical Mathematics, 2012, vol. 62, no. 11, pp. 1672-1683. DOI: 10.1016/j.apnum.2012.05.008
14. Gamzaev Kh. I. The Problem of Identifying the Trajectory of a Mobile Point Source in the Convective Transport Equation. Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2021, vol. 14, no. 2, pp. 78-84. DOI: 10.14529/mmp210208