Методы исследования устойчивости и стабилизации некоторых систем с большим запаздыванием

Статья посвящена исследованию свойств систем дифференциальных уравнений, содержащих большое (в частности, линейное) запаздывание. Системы с линейным запаздыванием имеют достаточно широкое применение в биологии, в частности, при моделировании распределения клеток в ткани организма; а также в теории нейронных сетей. Уравнения подобного типа встречаются также в задачах физики и механики, где важным моментом является асимптотическое поведение решения (в частности, асимптотическая устойчивость). При неустойчивости таких систем возникает задача стабилизации. Оптимальный алгоритм стабилизации основан на совокупности стабилизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений и в дальнейшем разностных систем. Данный алгоритм достаточно просто реализуется с использованием численных методов решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием и решения матричных уравнений. Авторами составлена программа, позволяющая достаточно эффективно находить управляющее воздействие, осуществляющее стабилизацию некоторых систем.

Ключевые слова

запаздывание; устойчивость; стабилизация.

Литература

1. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. - М.: Физматгиз, 1959.
2. Шиманов, С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздываниями по времени / С.Н. Шиманов // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 1. - C. 55-63.
3. Гребенщиков, Б.Г. Асимптотическое поведение решений одной стационарной системы с запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, В.И. Рожков // Дифференциальные уравнения. - 1993. - T. 29, № 5. - С. 751-758.
4. Гребенщиков, Б.Г. О неустойчивости некоторых систем с линейным запаздыванием / Б.Г. Гребенщиков, С.И. Новиков // Известия вузов. Математика. - 2010. - № 2. - С. 3-13.
5. Репин, Ю.М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при запаздываниях / Ю.М. Репин // Ученые записки Уральского университета. - 1960. - Вып. 23. - С. 31-34.
6. Гребенщиков, Б.Г. О стабилизации стационарных линейных систем с запаздыванием, линейно зависящих от времени / Б.Г. Гребенщиков // Известия вузов. Математика. - 1992. - Рук. деп. в ВИНИТИ - Деп. 4384-92.
7. Фурасов, В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация / В.Д. Фурасов. - М.: Наука, 1977.
8. Ким, А.В. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнений Риккати / А.В. Ким, А.Б. Ложников // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 7. - С. 15-31.
9. Марченко, В.М. К теории канонических форм систем управления с запаздыванием / В.М. Марченко // Математический сборник. - 1978. - Т. 105, № 3. - С. 403-412.
10. Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. - М.: Наука, 1975.
11. Рожков, В.И. Оценки решений некоторых систем дифференциальных уравнений с большим запаздыванием / В.И. Рожков, А.М. Попов // Дифференциальные уравнения. - 1971. - T. 7, № 2. - С. 271-278.
12. Гребенщиков, Б.Г. Об устойчивости по первому приближению систем с запаздыванием, линейно зависящих от времени / Б.Г. Гребенщиков // Дифференциальные уравнения. - 1990. - T. 26, № 2. - С. 214-218.
13. Фурасов, В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов / В.Д. Фурасов. - М.: Наука, 1982.