О качественном анализе семейства дифференциальных уравнений с первыми интегралами выше 2-й степени

Исследуется семейство дифференциальных уравнений, возникшее в результате обобщения классических интегрируемых случаев динамики твердого тела. Исследуемая система допускает полиномиальные первые интегралы 4 и 6 степени. При определенных ограничениях на параметры семейства дифференциальные уравнения интерпретируются как уравнения движения твердого тела в центральном поле сил, идеальной жидкости, электрически заряженного тела. Проводится качественный анализ уравнений: находятся особые инвариантные множества различной размерности и исследуется их устойчивость по Ляпунову. Для анализа задачи используются обобщения метода Рауса - Ляпунова и программные средства компьютерной алгебры.

Ключевые слова

твердое тело; уравнения движения; первые интегралы; инвариантные множества; устойчивость; компьютерная алгебра.

Литература

1. Опарина, Е.И. Устойчивость течения Колмогорова в канале с твердыми стенками / Е.И. Опарина, О.В. Трошкин // Доклады Российской академии наук. - 2004. - Т. 398, № 4. - С. 487-491.
2. Yehia, H.M. New Generalizations of the Integrable Problems in Rigid Body Dynamics / H.M. Yehia // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1997. - V. 30, № 20. - P. 7269-7275.
3. Yehia, H.M. New Generalizations of all the Known Integrable Problems in Rigid-Body Dynamics / H.M. Yehia // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1999. - V. 32, № 43. - P. 7565-7580.
4. Борисов, А.В. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. / А.В. Борисов, И.С. Мамаев. - М.: Институт компьютерных исследований, 2005.
5. Routh, E.J. The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies / E.J. Routh. - London: MacMillan, 1905.
6. Ляпунов, А.М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости / А.М. Ляпунов // Собрание сочинений. - 1954. - Т. 1. - С. 237-319.
7. Сальвадори, Л. Об устойчивости движения / Л. Сальвадори // Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. -1970. - Т. 124, № 6. - С. 3-19.
8. Иртегов, В.Д. О стационарных движениях обобщенного волчка Ковалевской и их устойчивости / В.Д. Иртегов, Т.Н. Титоренко // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2019. - № 1. - С. 101-114.
9. Иртегов, В.Д. О качественном анализе уравнений движения твердого тела в магнитном поле / В.Д. Иртегов, Т.Н. Титоренко // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2022. - Т. 25, № 1. - С. 54-66.
10. Яхья, Х.М. Новые решения задачи о движении гиростата в потенциальном и магнитном полях / Х.М. Яхья // Вестник Московского университета. Серия: Математика. Механика. - 1985. - № 5. - С. 60-63.
11. Иртегов, В.Д. Методы компьютерной алгебры в исследовании нелинейных дифференциальных систем / В.Д. Иртегов, Т.Н. Титоренко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2013. - Т. 53, № 6. - С. 1027-1040.
12. Иртегов, В.Д. Об инвариантных многообразиях систем с первыми интегралами / В.Д. Иртегов, Т.Н. Титоренко // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 73, № 4. - С. 531-537.
13. Иртегов, В.Д. Об инвариантных многообразиях в задаче Клебша - Тиссерана - Бруна / В.Д. Иртегов, Т.Н. Титоренко // Прикладная математика и механика. - 2012. - Т. 76, № 3. - С. 374-382.
14. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов. - М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.