Сеточно-характеристическая разностная схема для решения уравнения Хопфа на основе двух различных дивергентных форм

Построено новое двухпараметрическое семейство разностных схем для численного решения уравнения Хопфа. Исходная задача заменялась задачей для системы двух дифференциальных уравнений на основе различных дивергентных форм уравнения Хопфа. Потоковые члены выражались в виде линейных комбинаций переменных, входящих в разные дивергентные формы. В отличие от большинства работ, использующих методы неопределенных коэффициентов для построения разностных схем, при таком подходе неопределенные коэффициенты возникают при формулировке дифференциальной задачи. Система уравнений сохраняет гиперболический тип при любых значениях параметров. Для численной реализации за основу выбрана известная сеточно-характеристическая схема в инвариантах Римана, которая в случае линейного уравнения с постоянными коэффициентами переходит в схему Лакса - Вендроффа. Проведены расчеты двух тестовых задач - об эволюции гладкого начального условия и формировании разрывного решения и о распространении "ударной волны". По результатам тестовых расчетов подобраны коэффициенты экстраполяции, позволяющие получить хорошее согласие с точным решением. Исследовался апостериорный порядок сходимости к предельной функции для разрывных решений. При удачно подобранных коэффициентах экстраполяции он незначительно превышает единицу в момент градиентной катастрофы. При распространении сильного разрыва на больших временах порядок сходимости падает до 0,76. Остается открытым вопрос о постановке оптимизационной задачи, позволяющей выбирать коэффициенты экстраполяции наилучшим образом, возможно, в зависимости от локальных свойств решения. Также открытым пока остается вопрос о создании гибридных разностных схем с переменными коэффициентами экстраполяции в зависимости от гладкости решения.

Ключевые слова

уравнение Хопфа; дивергентная форма; неопределенные коэффициенты; схема Лакса - Вендроффа; разрывное решение.

Литература

1. Куликовский, А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. - М.: Физматлит, 2012.
2. Годунов, С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики / С.К. Годунов // Математический сборник. - 1959. - Т. 47 (89), № 3. - С. 271-306.
3. Гужев, Д.С. Уравнение Бюргерса - тест для численных методов / Д.С. Гужев, Н.Н. Калиткин // Математическое моделирование. - 1995. - Т. 7, № 4. - С. 99-127.
4. Федоренко, Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р.П. Федоренко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1962. - Т. 2, № 6. - С. 1122-1128.
5. Магомедов, К.М. Сеточно-характеристические численные методы / К.М. Магомедов, А.С. Холодов. - М.: Юрайт, 2017.
6. Tолстых, А.И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации высокой точности для уравнений в частных производных / А.И. Tолстых. - М.: Наука, 2015.
7. Рогов, Б.В. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса / Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 6. - С. 98-110.
8. Аристова, Е.Н. Бикомпактные схемы для неоднородного линейного уравнения переноса / Е.Н. Аристова, Д.Ф. Байдин, Б.В. Рогов // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25, № 5. - С. 55-66.
9. Головизнин, В.М. Алгоритмы нового поколения в вычислительной гидродинамике / В.М. Головизнин, Б.Н. Четверушкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2018. - Т. 58, № 8. - С. 20-29.
10. Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn // Lecture Notes in Mathematics. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. - P. 151-268.
11. Холодов, А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа / А.С. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1978. - Т. 18, № 6. - С. 1476-1492.
12. Холодов, А.С. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа / А.С. Холодов, Я.А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 9. - С. 1638-1667.
13. Федоренко, Р.П Введение в вычислительную физику / Р.П. Федоренко. - Долгопрудный: Интеллект, 2009.
14. Basharov, I.V. On the Finite Difference Schemes for Burgers Equation Solution / I.V. Basharov, A.I. Lobanov // Smart Modelling for Engineering Systems. - Singapore, 2021. - V. 215, P. 151-167.
15. Уизем, Дж.Б. Линейные и нелинейные волны / Дж.Б. Уизем. - М.: Мир, 1977.
16. Криксин, Ю.А. Построение точных решений некоторых уравнений гиперболического типа, содержащих разрыв, распространяющийся по неоднородному фону / Ю.А. Криксин, П.А. Кучугов, М.Е. Ладонкина, О.А. Неклюдова, В.Ф. Тишкин // Препринты Института прикладной математики им. М.В. Келдыша. - М., 2018. - № 17. - 14 c.