Разработка и верификация упрощенного hp-варианта метода коллокации и наименьших квадратов для нерегулярных областей

Предложен, реализован и верифицирован новый высокоточный hp-вариант метода коллокации и наименьших квадратов (hp-МКНК) численного решения эллиптических задач в нерегулярных областях. При построении приближенного решения использовались граничные нерегулярные ячейки (н-ячейки), отсеченные границей области от ячеек прямоугольной сетки, и их законтурные части для записи уравнений коллокации и условий согласования. В малых и (или) вытянутых несамостоятельных н-ячейках отдельное решение не строилось, а продолжалось из соседних самостоятельных ячеек, в которых использовалась внешняя (и внутренняя в многосвязной области) часть границы области, заключенная в этих несамостоятельных н-ячейках, для записи краевых условий. Такой подход существенно упростил компьютерную реализацию разработанного hp-МКНК по сравнению с предыдущим хорошо зарекомендовавшим его вариантом, не потеряв при этом своей эффективности. Показана возможность уменьшения степени переопределения системы линейных алгебраических уравнений по сравнению с ее значениями в традиционных вариантах МКНК при решении бигармонического уравнения. Проведено сравнение с результатами других работ с демонстрацией преимуществ нового подхода. Приведены результаты расчетов кольцевых пластин различной толщины на изгиб в рамках теорий Кирхгофа - Лява и Рейсснера - Миндлина с помощью hp-МКНК, демонстрирующего отсутствие сдвигового запирания.

Ключевые слова

метод коллокации и наименьших квадратов; теория Кирхгофа - Лява; теория Рейсснера - Миндлина; бигармоническое уравнение; нерегулярная область.

Литература

1. Ike, C.C. Mathematical Solutions for the Flexural Analysis of Mindlin's First Order Shear Deformable Circular Plates / C.C. Ike // Mathematical Models in Engineering. – 2018. – V. 4, № 2. – P. 50–72.
2. Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. – М.: Физматгиз, 1966.
3. Reddy, J.N. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis / J.N. Reddy. – Boca Raton; London; New York; Washington: CRC Press, 2004.
4. Голушко, С.К. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к задачам механики анизотропных слоистых пластин / С.К. Голушко, С.В. Идимешев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. – 2014. – Т. 19, № 5. – С. 24–36.
5. Guo Chen. A Fast Finite Difference Method for Biharmonic Equations on Irregular Domains and Its Application to an Incompressible Stokes flow / Guo Chen, Zhilin Li, Ping Lin // Advances in Computational Mathematics. – 2008. – V. 29, № 2. – P. 113–133.
6. Ben-Artzi, M. An Embedded Compact Scheme for Biharmonic Problems in Irregular Domains / M. Ben-Artzi, J.-P. Croisille, D. Fishelov // Advanced Computing in Industrial Mathematics: 11th Annual Meeting of the Bulgarian Section of SIAM. – Cham: Springer, 2018. – Vol. 728. – P. 11–23.
7. Hailong Guo. A C0 Linear Finite Element Method for Biharmonic Problems / Hailong Guo, Zhimin Zhang, Qingsong Zou // Journal of Scientific Computing. – 2018. – V. 74, № 3. – P. 1397–1422.
8. Wenting Shao. Chebyshev Tau Meshless Method Based on the Integration-Differentiation for Biharmonic-Type Equations on Irregular Domain / Wenting Shao, Xionghua Wu, Suqin Chen // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2012. – V. 36, № 12. – P. 1787–1798.
9. Беляев, В.A. H-, p- и hp-варианты метода коллокации и наименьших квадратов для решения краевых задач для бигармонического уравнения в нерегулярных областях и их приложения / В.А. Беляев, Л.С. Брындин, С.К. Голушко, Б.В. Семисалов, В.П. Шапеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2022. – Т. 62, № 4. – С. 531–552.
10. Идимешев, С.В. Модифицированный метод коллокаций и наименьших невязок и его приложение в механике многослойных композитных балок и пластин: дис. . . . канд. физ.- мат. наук / Идимешев Семен Васильевич. – Новосибирск, 2016. – 179 с.
11. Garcia, O. hp-Clouds in Mindlin’s Thick Plate Model / O. Garcia, E.A. Fancello, C.S. de Barcellos, C.A. Duarte // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2000. – V. 47, № 8. – P. 1367–1522.
12. Baier-Saip, J.A. Shear Locking In One-Dimensional Finite Element Methods / J.A. Baier-Saip, P.A. Baier, A.R. de Faria, J.C. Oliveira, H. Baier // European Journal of Mechanics – A/Solids. – 2020. – V. 79. – Article ID: 103871. – 16 p.
13. Tsung-Hui Huang. A Stabilized Quasi and Bending Consistent Meshfree Galerkin Formulation for Reissner–Mindlin Plates / Tsung-Hui Huang, Yen-Ling Wei // Computational Mechanics. – 2022. – V. 70. – P. 1211–1239.
14. Слепцов, А.Г. Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач / А.Г. Слепцов, Ю.И. Шокин // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1997. – Т. 37, № 5. – С. 572–586.
15. Голушко, С.К. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин / С.К. Голушко, С.В. Идимешев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. – 2013. – Т. 18, № 6. – С. 31–43.
16. Vorozhtsov, E.V. On the Efficiency of Combining Different Methods for Acceleration of Iterations at the Solution of PDEs by the Method of Collocations and Least Residuals / E.V. Vorozhtsov, V.P. Shapeev // Applied Mathematics and Computation. – 2019. – V. 363. – Article ID: 124644. – 19 p.
17. Шапеев, В.П. hp-вариант метода коллокации и наименьших квадратов с интегральными коллокациями решения бигармонического уравнения / В.П. Шапеев, Л.С. Брындин, В.А. Беляев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. – 2022. – Т. 26, № 3. – С. 556–572.
18. Исаев, В.И. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье – Стокса / В.И. Исаев, В.П. Шапеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2010. – Т. 50, № 10. – С. 1758–1770.