Модели с неопределенной волатильностью

В статье рассматриваются модели, в которых волатильность является одной из возможных траекторий. В качестве примера модели с определенной волатильностью рассматривается модель Блэка - Шоулса. В качестве примера моделей с неопределенной волатильностью рассматриваются три модели: модель Хестона со случайными траекториями, а также две модели с детерминированными траекториями из доверительного множества возможных траекторий. Предложены три вычислительных метода нахождения интервала справедливых цен Европейского опциона. Первый метод основан на решении вязкостных уравнений с использованием разностных схем. Вторым является метод Монте - Карло, который основан на моделировании исходного процесса стоимости акции. Третьим является метод деревьев, который основан на аппроксимации исходной непрерывной модели дискретной моделью и получением рекуррентных формул на бинарном дереве для расчета верхней и нижней цен. Приведены результаты расчетов с использованием перечисленных методов. Показано, что интервалы справедливых цен, полученные с использованием трех численных методов, практически совпадают.

Ключевые слова

модель Блэка - Шоулса; модель Хестона; неопределенная волатильность; вязкостное уравнение; опцион; справедливая цена.

Литература

1. Samuelson, P. Rational Theory of Warrant Pricing /P. Samuelson // Industrial Management Review. – 1965. – V. 6, № 2. – P. 13–31.
2. Black, F. The Pricing of Options and Corporate Liabilities / F. Black, M. Scholes // Journal of Political Economy. – 1973 – V. 81, № 3. – P. 637–659.
3. Merton, R. Theory of Rational Option Pricing / R. Merton // Bell Journal of Economics and Management Science. – 1973. – № 4. – P. 141–183.
4. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики / А.Н. Ширяев. – М.: МЦНМО, 2016.
5. Heston, S. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options / S. Heston // Review of Financial Studies. – 1993. – № 6. – P. 327–343.
6. Rouah, F. The Heston Model and Its Extensions in Matlab and C / F. Rouah, L. Steven. – Hoboken; New Jersey: John Wiley and Sons, 2013.
7. Beliavsky, G. The Uncertainty Volatility Models and Tree Approximation / G. Beliavsky, N. Danilova, T. Grober // Applied Mathematical Sсiences. – 2016. – V. 10, № 19. – P. 921–930.
8. Avellaneda, M. Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities / M. Avellaneda, A. Levy, A. Paras // Applied Mathematical Finance. – 1995. – № 2. – P. 73–88.
9. Hull, J. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities / J. Hull, A. White // Journal of Finance. – 1997. – V. 42, № 2. – P. 281–300.
10. Johnson, H. Option Pricing when the Variance is Changing / H. Johnson, D. Shanno // Journal of Financial and Quantitative Analysis. – 1987. – V. 22, № 2. – P. 143–151.
11. Meyer, G. The Black–Scholes Barenblatt Equation for Options with Uncertain Volatility and Its Application to Static Hedging / G. Meyer // International Journal of Theoretical and
Applied Finance. – 2006. – № 9. – P. 673–703.
12. Shige Peng. G-Brownian Motion and Dynamic Risk Measure under Volatility Uncertainty / Shige Peng // arXiv: Probability. – 2007. – 114 p. – URL: https://arxiv.org/abs/0711.2834
13. Stein, E. Stock Price Distributions with Stochastic Volatility: an Analytic Approach / E. Stein, J. Stein // Reviews of Financial Studies. – 1991. – V. 4, № 4. – P. 727–752.
14. Tychonoff, A. Theoremes d’unicite pour l’equation de la chaleur / A. Tychonoff // Математический сборник. – 1935. – Т. 42, № 2. – С. 199–216.
15. Scott L. Option Pricing when the Variance Changes Randomly. Theory, Estimation and an Application / L. Scott // Journal of Financial and Quantitative Analysis. – 1987. – V. 22, № 4. – P. 419–438.
16. Белявский, Г.И. Управление в бинарных моделях с разладкой / Г.И. Белявский, Н.В. Данилова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. – 2022. – Т. 15, № 3. – С. 67–82.
17. Rokhlin, D. The Central Limit Theorem under Uncertain Linear Transforms / D. Rokhlin // Statistics and Probability Letters. – 2015. – V. 107. – P. 191–198.
18. Bayraktar, E. Stochastic Perrons Method for Hamilton–Jacobi–Bellman Equations / E. Bayraktar, M. Sirbu // SIAM Journal on Control and Optimization. – 2013. – V. 51,№ 6. – P. 4274–4294.
19. Данилова, Н.В. Параллельный алгоритм расчета справедливой цены европейского опциона / Н.В. Данилова, Б.Я. Штейнберг, Л.Н. Фоменко // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. – 2011. – № 3 (126). – С. 115–119.