Investigation of the Uniqueness Solution of the Showalter-Sidorov Problem for the Mathematical Hoff Model. Phase Space Morphology

Статья посвящена изучению морфологии фазового пространства математической модели деформации двутавровой балки, которое лежит на гладких банаховых многообразиях с особенностями (k-сборка Уитни) в зависимости от параметров задачи. Математическая модель изучена в случае, когда оператор при производной по времени является вырожденным. Исследование вопроса неединственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа в двумерной области проведено на основе метода фазового пространства, который был разработан Г.А. Свиридюком. Найдены условия неединственности решения в случае, когда размерность ядра оператора при производной по времени равна 1 или 2. Представлены два подхода для выявления количества решений задачи Шоуолтера - Сидорова в случае, размерности ядра оператора при производной по времени равного 2. Приведены примеры, иллюстрирующие неединственность решения исследуемой задачи на прямоугольнике.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; задача Шоуолтера - Сидорова; метод фазового пространства; сборка Уитни; уравнение Хоффа; неединственность решений.

Литература

1. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного операторного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г.А. Свиридюк // Доклады Академии наук. - 1986. - Т. 289, № 6. - С. 1-31.
2. Пятков, С.Г. Краевые и обратные задачи для некоторых классов неклассических операторно-дифференциальных уравнений / С.Г. Пятков // Сибирский математический журнал. - 2021. - Т. 62, № 3. - С. 489-502.
3. Al'shin, A.B. Blow-Up in Nonlinear Sobolev Type Equations / A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. - Berlin: Walter de Gruyter, 2011.
4. Келлер, А.В. Некоторые обобщения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей соболевского типа / А.В. Келлер, С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 2. - С. 5-23.
5. Замышляева, А.А. Неклассические уравнения математической физики. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8, № 4. - С. 5-16.
6. Hoff, N.J. Creep Buckling / N.J. Hoff // Journal of the Aeronautical Science. - 1956. - № 7. - P. 1-20.
7. Баязитова, А.А. Задача Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа на геометрическом графе / А.А. Баязитова // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2011. - Т. 4, № 1. - С. 2-8.
8. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 1. - С. 126-131.
9. Шафранов, Д.Е. Уравнение Хоффа как модель упругой оболочки / Д.Е. Шафранов, А.И. Шведчикова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 18(227), вып. 12. - С. 77-81.
10. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференциальные уравнения. - 1983. - Т. 19, № 9. - C. 1516-1526.
11. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
12. Манакова, Н.А. Полулинейные модели соболевского типа. Неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова / Н.А. Манакова, О.В. Гаврилова, К.В. Перевозчикова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2022. - Т. 15, № 1. - С. 84-100.
13. Гильмутдинова, А.Ф. О неединственности решений задачи Шоуолтера - Сидорова для одной модели Плотникова / А.Ф. Гильмутдинова // Вестник СамГУ. - 2007. - Т. 9, № 1. - С. 85-90.
14. Бокарева, Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Математические заметки. - 1994. - Т. 55, № 3. - С. 3-10.
15. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - C. 250-258.
16. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Математические заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292-297.
17. Свиридюк, Г.А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, И.К. Тринеева // Известия вузов. Математика. - 2005. - № 10. - С. 54-60.
18. Gavrilova, O.V. Numerical Study of the Non-Uniqueness of Solutions to the Showalter-Sidorov Problem for a Mathematical Model of I-beam Deformation / O.V. Gavrilova, N.G. Nikolaeva // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2022. - V. 9, № 1. - P. 10-23.
19. Свиридюк, Г.А. О галеркинских приближениях сингулярных нелинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Известия вузов. Математика. - 1989. - № 10. - С. 44-47.
20. Богатырева, Е.А. Численное моделирование процесса неравновесной противоточной капиллярной пропитки / Е.А. Богатырева, Н.А. Манакова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 1. - С. 125-132.
21. Бычков, Е.В. Аналитическое исследование математической модели распространения волн на мелкой воде методом Галеркина / Е.В. Бычков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2021. - Т. 14, № 1. - С. 26-38.
22. Манакова, Н.А. Неклассические уравнения математической физики. Фазовые пространства полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8, № 3. - С. 31-51.