Analysis of the Wentzell Stochastic System Composed of the Equations of Unpressurised Filtration in the Hemisphere and at Its Boundary

Впервые изучены детерминированная и стохастическая системы Вентцеля уравнений Дзекцера в полусфере и на его границе. В детерминированном случае установлена однозначная разрешимость начальной задачи для системы Вентцеля в специфическом построенном гильбертовом пространстве. В случае стохастической гидродинамической системы "пласт - скважина - коллектор" используется теория производной Нельсона - Гликлиха и строится стохастическое решение, которое позволяет определять прогнозы количественного изменения геохимического режима грунтовых вод при безнапорной фильтрации. Отметим, что для изучаемой системы фильтрации рассматривалось неклассическое условие Вентцеля, поскольку оно представлено уравнением с оператором Лапласа - Бельтрами, заданным на границе области, понимаемой как гладкое компактное риманово многообразие без края, причем внешнее воздействие представлено нормальной производной функции, заданной в области.

Ключевые слова

система Вентцеля; уравнение Дзекцера; производная Нельсона - Гликлиха.

Литература

1. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // Доклады Академии наук СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.
2. Гончаров, Н.С. Неединственность решений краевых задач с условием Вентцеля / Н.С. Гончаров, С.А. Загребина, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2021. - Т. 14, № 4. - С. 102-105.
3. Гончаров, Н.С. Анализ стохастической системы Вентцеля, составленной из уравнений фильтрации влаги в шаре и на его границе / Н.С. Гончаров, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2023. - Т. 16, № 4. - С. 84-92.
4. Вентцель, А.Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов / А.Д. Вентцель // Теория вероятности и ее применения. - 1959. - Т. 4, № 2. - С. 172-185.
5. Feller, W. Diffusion Processes in One Dimension / W. Feller // Transactions of the American Mathematical Society. - 1954. - V. 77, № 1. - P. 1-31.
6. Luo Yousong. Linear Second Order Elliptic Equations with Venttsel Boundary Conditions / Yousong Luo, N.S. Trudinger // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics. - 1991. - V. 118, № 3-4. - P. 193-207.
7. Апушинская, Д.Е. Начально-краевая задача с граничным условием Вентцеля для недивергентных параболических уравнений / Д.Е. Апушинская, А.И. Назаров // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 6. - С. 1-29.
8. Лукьянов, В.В. Решение задачи Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов / В.В. Лукьянов, А.И. Назаров // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1998. - Т. 250. - С. 203-218.
9. Favini, A. C_0-Semigroups Generated by Second Order Differential Operators with General Wentzell Boundary Conditions / A. Favini, G.R. Goldstein, J.A. Goldstein, S. Romanelli // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2000. - V. 128, № 7. - P. 1981-1989.
10. Favini, A. The Heat Equation with Generalized Wentzell Boundary Condition / A. Favini, G.R. Goldstein, J.A. Goldstein, S. Romanelli // Journal of Evolution Equations. - 2002. - V. 2, № 1. - P. 1-19.
11. Coclite, G.M. The Role of Wentzell Boundary Conditions in Linear and Nonlinear Analysis / G.M. Coclite, A. Favini, C.G. Gal, G.R. Goldstein, J.A. Goldstein, E. Obrecht, S. Romanelli // Advances in Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. - 2009. - V. 3. - P. 279-292.
12. Engel, K.J. Analyticity of Semigroups Generated by Operators with Generalized Wentzell Boundary Conditions / K.J. Engel, G. Fragnelli // Advances in Differential Equations. - 2005. - V. 10, № 11. - P. 1301-1320.
13. Favini, A. Multipoint Initial-Final Value Problem for Dynamical Sobolev-Type Equation in the Space of Noises / A. Favini, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk // Electronic Journal of Differential Equations. - 2018. - V. 2018, № 128. - P. 1-10.
14. Гончаров, Н.С. Задачи Шоуолтера - Сидорова и Коши для линейного уравнения Дзекцера с краевыми условиями Вентцеля и Робена в ограниченной области / Н.С. Гончаров, С.А. Загребина, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2022. - Т. 14, № 1. - С. 50-63.
15. Goncharov, N.S. Stochastic Barenblatt-Zheltov-Kochina Model on the Interval with Wentzell Boundary Conditions / N.S. Goncharov // Global and Stochastic Analysis. - 2020. - V. 7, № 1. - P. 11-23.
16. Denk, R. The Bi-Laplacian with Wentzell Boundary Conditions on Lipschitz Domains / R. Denk, M. Kunze, D. Ploss // Integral Equations and Operator Theory. - 2021. - V. 93, № 2. - Article ID: 13. - 26 p.
17. Lions, J.L. Problems aux limites non homogenes et applications / J.L. Lions, E. Magenes. - Paris: Dunod, 1968.
18. Шестаков, А.Л. Динамические измерения в пространствах "шумов" / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Ю.В. Худяков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2013. - Т. 13, № 2. - С. 4-11.
19. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1996. - № 12. - С. 60-71.
20. Shestakov, A.L. The Optimal Measurements Theory as a New Paradigm in the Metrology / A.L. Shestakov, А.V. Keller, A.A. Zamyshlyaeva, N.A. Manakova, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2020. - V. 7, № 1. - P. 3-23.