Об уточнении приближенного решения одномерной сингулярно возмущенной модельной задачи с разрывной нелинейностью

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение с малым параметром при производной, разрывной по фазовой переменной нелинейностью и двусторонними начальными условиями, которое моделирует движение материальной точки со скачком ускорения. К особенностям исследуемой задачи можно отнести то обстоятельство, что решение вырожденного уравнения не существует, а также что начальные условия зависят от малого параметра и определяют негладкую функцию. Задача в такой постановке уже решалась авторами ранее, когда, во-первых, было записано точное ее решение, во-вторых, приведена приближенная модель, построено для нее достаточно гладкое решение и проведен его анализ. Однако прежнее приближенное решение имело тот недостаток, что, хотя его поведение имело регулярный характер при удалении от начальной точки, но в малой окрестности вблизи нее оставалось неудовлетворительным, исходя из требований наличия причинно-следственных ограничений. В данной статье производится аппроксимация уравнения для гладкого приближенного решения с целью устранить указанную проблему. Построенное гладкое решение будет подчиняться левому начальному условию в точке перехода.

Ключевые слова

разрывные нелинейности; сингулярные возмущения; вырожденное уравнение; асимптотическое разложение; пограничные функции.

Литература

1. Гольдштик, М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости / М.А. Гольдштик // Доклады Академии наук СССР. - 1962. - Т. 147, № 6. - C. 1310-1313.
2. Павленко, В.Н. Асимптотическое поведение приближенного решения одномерной сингулярно возмущенной задачи Гольдштика / В.Н. Павленко, Е.А. Деркунова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2023. - Т. 15, № 4. - С. 14-20.
3. Levashova, N.T. The Solution with Internal Transition Layer of the Reaction-Diffusion Equation in Case of Discontinuous Reactive and Diffusive Terms / N.T. Levashova, N.N. Nefedov, O.A. Nikolaeva, A.O. Orlov, A.A. Panin // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2018. - V. 41, № 18. - P. 9203-9217.
4. Нефедов, Н.Н. Асимптотическая устойчивость стационарного решения с внутренним переходным слоем задачи реакция-диффузия с разрывным реактивным слагаемым / Н.Н. Нефедов, Н.Т. Левашова, А.О. Орлов // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. Теоретическая и математическая физика. - 2018. - № 6. - С. 3-10.
5. Нефедов, Н.Н. О периодическом внутреннем слое в задаче реакция-диффузия с источником модульно-кубического типа / Н.Н. Нефедов, Е.И. Никулин, А.О. Орлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2020. - Т. 60, № 9. - С. 1513-1532.
6. Левашова, Н.Т. Асимптотически устойчивые стационарные решения реакция-диффузия-адвекция с разрывными реактивным и адвективным слагаемыми / Н.Т. Левашова, Н.Н. Нефедов, О.А. Николаева // Дифференциальные уравнения. - 2020. - Т. 56, № 5. - С. 615-631.
7. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Высшая школа, 1990.
8. Васильева, А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Изд-во Московского университета, 1978.